高等數學系列R之四：傅立葉級數及變換

2020-03-23

傅立葉級數是將週期函式表示成由多個（或無窮多個）不同頻率的正弦函式和餘弦函式的線性組合，這些不同的頻率是不連續的，例如傅立葉級數：

$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{π}(sinx+\frac{1}{3} sin3x+\frac{1}{5} sin5x+⋯)$

，

其

sin

內的

x， 3x， 5x

是不連續的。而傅立葉積分是將傅立葉級數延伸到非週期函式，但這些不同的頻率是連續的，例如：若

f（x）

的傅立葉積分=

$\frac{2}{π} ∫_0^∞\frac{cos⁡(wx)sin⁡(w)}{w} dw$

，其

cos

內的

是連續的（因

積分從

積到

∞

）。至於傅立葉變換是將函式變換成另一種形式，以方便某些領域的計算。接下來，我們將傅立葉級數及變換分成十個章節來探討。

週期函式

（1）。

若函式

f（x）

的定義域為實數集合

且存在一正數

，使得

f（x+T）=f（x），x∈R，

則稱

f（x）

為週期函式，且此正的數值

稱為

f（x）

的週期。

（2）。

若

f（x）

和

g（x）

的週期均為

，則

h（x）=af（x）±bg（x）

亦為週期

的函式。

（3）。

若

f（x）

的週期為

，則

f（kx）

的週期為：

$\frac{T}{k}$

。

（4）。

若

f（x）

的週期為

mT，g（x）

的週期為

，則

h（x）=af（x）±bg（x）

的週期為

m， n

的最小公倍數乘以

。（若

m， n

為分數，則先通分後再取分子的最小公倍數）

（5）。

常數函式

f（x）=c

，亦為週期函式，其週期為任意數。

（6）。

級數

$a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+…=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+b_nsinnx)$

，其中

均為常數，則此級數稱為三角級數，而

稱為此級數的係數。

（7）。

三角級數的週期為

2π

。

（ex。47）

求

sin（2x）+cos（3x）

的週期。

Sol：

（1）。 sin（2x）

的週期為

$\frac{2π}{2}=π$

（2）。 cos（3x）

的週期為

$\frac{2π}{3}$

，而

$π=\frac{3π}{3}$

，兩週期的分子

和

的最小公倍數是

，所以

sin（2x）+cos（3x）

的週期為

$\frac{6π}{3}=2π$

週期為 2π 的傅立葉級數

（1）。

若函式

f（x）

是週期為

2π

的週期函式，則其可以用下面的三角級數表示：

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+b_nsinnx)$

（2）。

在上式中，若

f（x）

已知，則

可由下法求得：

$a_0=\frac{1}{2π} \int_{-π}^{π}f(x)dx$

$a_n=\frac{1}{π} \int_{-π}^{π}f(x)∙cosnxdx$

，

n=1， 2， 3…

$b_n=\frac{1}{π} \int_{-π}^{π}f(x)∙sinnxdx$

，

n=1， 2， 3…

pf：

略

（3）。

用法：要求週期為

2π

的週期函式

f（x）

的傅立葉級數時，

（a）。

抄下

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+b_nsinnx)$

。

（b）。

抄下

$a_0=\frac{1}{2π} \int_{-π}^{π}f(x)dx$

。

（c）。

將題目的

f（x）

代入

（b）

式。

（d）。

將

（b）

式積分出來，求出

。

（e）。

重複

（b）~（d）

式，算出

。

（f）。

最後將

代入

（a）

式。

（g）。

求出前三項之值（

n=1， 2， 3

代入），找出其規律。

（4）。

若

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+b_nsinnx)$

，則右式稱為

f（x）

的傅立葉級數，而

稱為

f（x）

的傅立葉係數。

（ex。48）

求

f（x）

的週期為

2π

，且

$f(t)=\begin{cases} 0,當-π<t<0\\[2ex] 1,當0<x<π\\[2ex] \end{cases}$

，求

f（x）

的傅立葉級數。

Sol：

由傅立葉級數公式知

（1）。

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx+b_nsinnx)$

（2）。

$a_0=\frac{1}{2π}\int_{-π}^{π}f(x)dx=\frac{1}{2π}\int_{-π}^{0}0∙dx+\int_{0}^{π}1∙dx=\frac{1}{2}$

（3）。

$a_n=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}cosnxdx=\frac{1}{π}(\int_{-π}^{0}0∙cosnxdx+\int_{0}^{π}1∙cosnxdx)=\frac{1}{nπ} [sinnx|\begin{matrix} π\\0\\ \end{matrix}]=\frac{1}{nπ} [sinnπ-sin0]=0$

偶函式與奇函式的傅立葉級數

此節的目的是要簡化計算傅立葉係數的過程。

（1）。

若函式

f（x）

滿足

f（-x）=f（x）

，則

f（x）

稱為偶函式，例如：

等，或圖形沿

軸對摺，左右兩邊圖形會重疊在一起，如下圖：

（2）。

若函式

g（x）

滿足

g（-x）=-g（x）

，則

g（x）

稱為奇函式，例如：

等，或圖形沿

軸對摺，再沿

軸對摺，右上圖形與左下圖形會重疊在一起，如下圖：

（3）。

偶函式與偶函式的乘積為偶函式，例如：

為偶函式；偶函式與奇函式的乘積為奇函式，例如：

為奇函式；奇函式與奇函式的乘積為偶函式，例如：

為偶函式。

（4）。

偶函式積分積一個週期等於積半個週期的

倍，即若函式

f（x）

是週期為

2π

的偶函式，

$\int_{-π}^{π}f(x)dx=2\int_{0}^{π}f(x)dx$

。

（5）。

奇函式積分積一個週期的值為

，即若函式

g（x）

是週期為

2π

的奇函式，則

$\int_{-π}^{π}g(x)dx=0$

。

（6）。

若函式

f（x）

是週期為

2π

的週期函式，且為偶函式，則

f（x）

和

f（x）cosnx

為偶函式，

f（x）sinnx

為奇函式，所以

f（x）

的傅立葉級數為：

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_ncosnx)$

，

其中，

$a_0=\frac{1}{2π}\int_ {-π}^{π}f(x)dx=\frac{1}{π}\int_{0}^{π}f(x)dx$

，

$⇒ a_0=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)∙cosnxdx=\frac{2}{π}\int_{0}^{π}f(x)∙cosnxdx$

，

。

（7）。

若函式

f（x）

是週期為

2π

的週期函式，且為奇函式，則

f（x）

和

f（x）cosnx

為奇函式，

f（x）sinnx

為偶函式，所以

f（x）

的傅立葉級數為：

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_nsinnx$

，

其中，

$b_0=\frac{1}{π}\ ∫_{-π}^{π}f(x)∙sinnxdx=\frac{2}{π} ∫_0^πf(x)∙sinnxdx$

，

（ex。49） f（x）

的週期為

2π

，且

$f(t)=\begin{cases} 1,當-\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}\\[2ex] 0,當\frac{π}{2}<x<\frac{3π}{2}\\[2ex] \end{cases}$

，求

f（x）

的傅立葉級數。

Sol：f（x）

可改寫成

$f(t)=\begin{cases} 0,當-π<x<\frac{-π}{2}\\[2ex] 1,當-\frac{-π}{2}<x<\frac{π}{2}\\[2ex] 0,當\frac{π}{2}<x<π\\[2ex] \end{cases}$

因為它是偶函式，所以

（1）。

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_ncosnx)$

（2）。

$a_0=\frac{1}{π} ∫_{-π}^{π}f(x)dx=\frac{1}{π}[∫_{0}^{\frac{π}{2}}1dx+∫_{\frac{π}{2}}^π0dx]=\frac{1}{π}∙(\frac{π}{2}-0)=\frac{1}{2}$

（3）。

$a_0=\frac{2}{π} ∫_{0}^{π}f(x)∙cos nxdx=\frac{2}{π} [∫_{0}^{\frac{π}{2}}1∙cosnxdx+∫_{\frac{π}{2}}^π0∙cosnxdx]=\frac{2}{π}∙\frac{1}{n} sinnx|\begin{matrix} \frac{π}{2}\\0\\ \end{matrix}=\frac{2}{nπ} sin \frac{nπ}{2}$

（4）。

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_ncos nx=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{nπ} sin⁡(\frac{nπ}{2})∙cos⁡(nx)=\frac{1}{2}+\frac{2}{π}∙cosx-\frac{2}{3π}∙cos3x+\frac{2}{5π}∙cos5x+…$

任意週期函式之傅立葉級數

（1）。

週期為

的週期函式

f（t）

（注：

為半週期），其傅立葉級數為：

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty [a_ncos(n∙\frac{π}{L} x)+b_nsin(n∙\frac{π}{L} x)]$

，其中，

$a_0=\frac{1}{2L} ∫_{-L}^{L}f(x)dx$

，

$a_n=\frac{1}{L} ∫_{-L}^{L}f(x)cos⁡(n∙\frac{π}{L} x)dx$

，

$b_n=\frac{1}{L} ∫_{-L}^{L}f(x)sin⁡(n∙\frac{π}{L} x)dx$

Pf：

略

說明：週期為

的傅立葉級數，只要將週期為

2π

的傅立葉級數作下列二項修改，

（a）。

將公式的所有

改成

；

（b）。

將

sin

和

cos

內的

改成

$\frac{π}{L}∙x$

。

（2）。

週期為

的偶函式

f（x）

，其傅立葉級數為：

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_ncos(n∙\frac{π}{L} x)$

，

其中，

$a_0=\frac{1}{2L} ∫_{-L}^{L}f(x)dx$

，

$a_n=\frac{2}{L} ∫_{-L}^{L}f(x)cos⁡(n∙\frac{π}{L} x)dx$

。

（3）。

週期為

的奇函式

f（x）

，其傅立葉級數為：

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_nsin(n∙\frac{π}{L} x)$

，

其中，

$b_n=\frac{2}{L} ∫_{0}^{L}f(x)sin \frac{nπx}{L} dx$

。

（ex。50）

週期為

的

f（x）

，且

$f(t)=\begin{cases} 0,當-2<t<0\\[2ex] 1,當0<t<2\\[2ex] \end{cases}$

，求

f（x）

的傅立葉級數。

Sol：

週期

2L=4

，所以

（1）。

$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty [a_ncos(n∙\frac{π}L t)+b_nsin(n∙\frac{π}{L} t)$

（2）。

$a_0=\frac{1}{2L} ∫_{-L}^{L}f(t)dt=\frac{1}{4} ∫_{0}^{2}1∙dt=\frac{1}{2}$

（3）。

$a_n=\frac{1}{L} ∫_{-L}^{L}f(t)cos∙\frac{nπ}{L} tdt=\frac{1}{2} ∫_{0}^{2}cos \frac{nπ}{2} tdt=\frac{1}{2}∙\frac{2}{nπ}∙sin⁡(\frac{nπt}{2})|\begin{matrix} 2\\0\\ \end{matrix}=\frac{1}{nπ} [sinnπ-sin0]=0$

（4）。

$b_n=\frac{1}{L} ∫_{-L}^{L}f(t)sin∙\frac{nπ}{L} tdt=\frac{1}{2} ∫_{0}^{2}sin\frac{nπ}{2} tdt=\frac{1}{2}∙(-\frac{2}{nπ}cos⁡(\frac{nπt}{2})|\begin{matrix} 2\\0\\ \end{matrix}=\frac{1}{nπ} [1-cosnπ]=$

$f(t)=\begin{cases} \frac{2}{nπ},n=1, 3, 5...\\[2ex] 0,n=2, 4, 6...\\[2ex] \end{cases}$

（5）。

所以

$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty [a_ncos(n∙\frac{π}{L} t)+b_nsin(n∙\frac{π}{L} t)]=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty [\frac{1}{nπ} (1-cosnπ)(sin⁡(\frac{nπ}{2} t)]$

$=\frac{1}{2}+\frac{2}{π}(sin\frac{π}{2} t+\frac{1}{3} sin \frac{3π}{2} t+⋯)$

半週期函式

(或稱半週期展開)

（1）。

若給定一半週期函式，如週期是

的函式，

f（x）

只在

［0， L］

內有定義，現要將函式f（x）的定義擴充套件到

（-∞， ∞）

，其擴充套件的方式有二種：

（a）。

偶函式擴充套件：即先擴充套件到

［-L， L］

一週期的偶函式，再擴充套件到

（-∞， ∞）

。

（b）。

奇函式擴充套件：即先擴充套件到

［-L， L］

一週期的偶函式，再擴充套件到

（-∞， ∞）

。

函式本來定義在

［0， L］

半週期內，經以上的擴充套件方式，週期均變為

，稱為“半週期展開”。

（2）。

要求半週期展開的傅立葉級數時，可以使用上節「任意週期函式之傅立葉級數」方法求得，及若是偶函式擴充套件或奇函式擴充套件，則代偶函式或奇函式的傅立葉級數公式。

（ex。51）

求下列函式的偶函式和奇函式半週期展開，且

$f(t)=\begin{cases} 1,當0<x<\frac{2}{3}\\[2ex] 0,當\frac{2}{3}<x<2\\[2ex] \end{cases}$

。

Sol：

半週期

L=2

（1）。

展開成一週期偶函式

（a）。

偶函式擴充套件：

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_ncos(\frac{nπ}{L} x)$

（b）。

$a_0=\frac{1}{L} ∫_{0}^{L}f(x)dt=\frac{1}{2} ∫_{0}^{\frac{2}{3}}1∙dx=\frac{1}{3}$

（c）。

$a_n=\frac{2}{L} ∫_{0}^{L}f(x)cos∙\frac{nπx}{L} dx=\frac{2}{2} ∫_{0}^{\frac{2}{3}}1∙cos \frac{nπx}{2} dx=\frac{2}{nπ} sin⁡(\frac{nπ}{3})$

（d）。 n=1， 2， 3， …

代入，得

$a_1=\frac{2}{π} sin⁡(\frac{π}{3})=\sqrt{\frac{3}{π}}$

、

$a_2=\frac{2}{2π} sin⁡(\frac{2π}{3})=\sqrt{\frac{3}{2π}}$

、

$a_3=\frac{2}{3π} sin⁡(\frac{3π}{3})=0$

、

$a_4=\frac{2}{4π} sin⁡(\frac{4π}{3})=-\sqrt{\frac{3}{4π}}$

、

$a_5=\frac{2}{5π} sin⁡(\frac{5π}{3})=-\sqrt{\frac{3}{5π}}$

、

$a_ˊ=\frac{2}{6π} sin⁡(\frac{6π}{3})=0$

，…。

（e）。

所以

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_ncos(n∙\frac{π}{L} x) =\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{2}{nπ} sin⁡(\frac{nπ}{3})(cos⁡(\frac{nπx}{2}))$

$=\frac{1}{3}+√3/π cos⁡(\frac{πx}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2π} cos(\frac{2πx}{2})-\frac{\sqrt{3}}{4π} cos(\frac{4πx}{2})-\frac{\sqrt{3}}{5π} cos(\frac{5πx}{2})+⋯$

（2）。

展開成一週期奇函式

（a）。

奇函式擴充套件：

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_ncos(\frac{nπ}{L} x)$

（b）。

$b_n=\frac{2}{L} ∫_{0}^{L}f(x)sin∙\frac{nπx}{L} dx=\frac{2}{2} ∫_{0}^{\frac{2}{3}} 1∙sin \frac{nπx}{2} dx=-\frac{2}{nπ}[cos⁡(\frac{nπ}{3}-1)]$

（c）。 n=1， 2， 3， …

代入，得

$b_1=-\frac{2}{π} [cos⁡(\frac{π}{3})-1]=\frac{1}{π}$

、

$b_2=-\frac{2}{2π} [cos⁡(\frac{2π}{3})-1]=\frac{3}{2π}$

、

$b_3=-\frac{2}{3π} [cos⁡(\frac{3π}{3})-1]=\frac{4}{3π}$

、

$b_4=-\frac{2}{4π} [cos⁡(\frac{4π}{3})-1]=\frac{3}{4π}$

、

$b_5=-\frac{2}{5π} [cos⁡(\frac{5π}{3})-1]=\frac{1}{5π}$

、

$b_6=-\frac{2}{6π} [cos⁡(\frac{6π}{3})-1]=0$

，…。

（d）。

所以

$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_ncos(\frac{nπ}{L} x) =\sum_{n=1}^\infty [-\frac{2}{nπ} (cos(\frac{nπ}{3})-1)(sin⁡(\frac{nπx}{2})]=$

$\frac{1}{π} sin⁡(\frac{πx}{2})+\frac{3}{2π} sin(\frac{2πx}{2})+\frac{3}{4π} sin(\frac{4πx}{2})+\frac{1}{5π} sin(\frac{5πx}{2})+⋯$

複數傅立葉級數

（1）。

也可以用複數方法來求傅立葉級數，其與用前面的方法求出來的答案相同。

（2）。

函式

f（x）

是週期為

2π

的函式，其複數傅立葉級數為

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^{inx}$

，其中，

$c_n=\frac{1}{2π} ∫_{-π}^{π}f(x)e^{-inx}dx$

，n=0， ±1， ±2， …

（3）。

要求複數傅立葉級數時，

（a）。

抄下

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^{inx}$

。

（b）。

抄下

$c_n=\frac{1}{2π} ∫_{-π}^{π}f(x)e^{-inx}dx$

。

（c）。

將題目的

f（x）

代入

（b）

式。

（d）。

將

（b）

式積分出來。

（e）。

求出

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^{inx}$

中的第

-k

項（即

$c_{-k}e^{i(-k)x}$

和第

項（即

$c_ke^{i(k)x}$

，再將此二項相加起來，以消去虛數部分。

（f）。

求出

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^{inx}$

的第

項（即

$c_0e^{i(0)x}= c_0$

）。

（g）。

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^{inx} ==c_0+\sum_{-∞}^\infty[c_{-k}e^{i(-k)x} +c_ke^{ikx}]$

，答案與用前面方法求出答案相同。

注：

（i）。

若題目要求「複數傅立葉級數」，只要做到

（d）

步驟，再將

代回

（a）

式即可；

（ii）。

若題目要求「傅立葉級數」，則還要往下做以消去虛數

，其結果與用前面方法求出答案相同。

（4）。

函式

f（x）

是週期為

的函式，其複數傅立葉級數為：

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^\frac{inπx}{L}$

，其中，

$c_n=\frac{1}{2L} ∫_{-L}^{L}f(x)e^\frac{-inπx}{L} dx$

，n=0， ±1， ±2， …

說明：週期為

的複數傅立葉級數只要將週期為

2π

的複數傅立葉級數作下列二項修改：

（a）。

將公式的所有

改成

；

（b）。

將

的指數

改成

$\frac{πx}{L}$

。

（ex。52）

若

f（x）

的週期為

2π

，且

$f(t)=\begin{cases} 1,當-π<x<0\\[2ex] 0,當0<x<π\\[2ex] \end{cases}$

，用複數方法求

f（x）

的傅立葉級數。

Sol：

（1）。

$f(x)=\sum_{-∞}^\infty c_ne^{inx}$

。

（2）。

$c_n=\frac{1}{2π} ∫_{-π}^{π}f(x)e^{-inx}dx=\frac{1}{2π} [∫_{-π}^{0}0∙e^{-inx} dx+∫_0^π1∙e^{-inx}dx]=\frac{1}{2π}∙\frac{e^{-inx}}{-in}|\begin{matrix} π\\0\\ \end{matrix}=$

$\frac{-1}{2nπi} (e^{-inx}-1)=\frac{1}{2nπi}[cos⁡(-nπ)+isin(-nπ)-1]=\frac{1}{2nπ}[cos⁡(nπ)-1]$

。

（注：

$e^{iθ}=cosθ+isinθ$

，因

是整數，所以

sin（-nπ）=0

）

（3）。（a）。 n=-k

代入

$⇒c_{-k}e^{i(-k)x}=\frac{i}{2(-k)π} [cos(-kπ)-1][cos⁡(-kx)+isin(-kx)]=$

$\frac{-i}{2kπ} [cos⁡(kπ)-1][cos⁡(kx)-isin(kx)]=\frac{1}{2kπ} [cos⁡(kπ)-1][-sin⁡(kx)-icos(kx)]$

（b）。 n=k

代入

$⇒c_{k}e^{i(k)x}=\frac{i}{2(-k)π} [cos(kπ)-1][cos⁡(kx)+isin(kx)]=$

$\frac{1}{2kπ} [cos⁡(kπ)-1][-sin⁡(kx)+icos(kx)]=\frac{1}{2kπ} [cos⁡(kπ)-1][-sin⁡(kx)+icos(kx)]$

（c）。（a）+（b）

$⇒c_{-k}e^{I(-k)x}+c_{k}e^{I(k)x}=\frac{1}{2kπ} [cos(kπ)-1][-2isin(kx)]=\frac{1}{kπ} [1-cos⁡(kπ)]sinkx$

（4）。 n=0

代入

$c_0 =\frac{1}{2π} ∫_{-π}^{π} f(x) e^{-inx} dx|\begin{matrix} \\n=0\\ \end{matrix}=\frac{1}{2π}[∫_{-π}^{0} 0∙e^{-i0x} dx+∫_{0}^{π} 1∙e^{-i0x} dx]=\frac{1}{2}$

（5）。

$f(x)=\sum_{n=-∞}^\infty c_ne^{inx} =c_0+\sum_{n=1}^\infty [c_{-k}e^{i(-k)x}+ c_ke^{i(k)x}]=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{nπ}[1-cos(nπ)]sinnx$

（答案與「週期為

2π

的傅立葉級數」中

（ex。48）

相同。）

傅立葉積分

（1）。

若函式

f（x）

為非週期性函式或考慮整個

軸時，就要使用傅立葉積分。

（2）。 f（x）

的傅立葉積分為：

$f(x)=∫_{0}^{∞}[A(w) cos⁡(wx)+B(w)sin⁡(wx)]dw$

，其中，

$A(w)=\frac{1}{π} ∫_{-∞}^{∞}f(u) cos⁡(wu)du$

、

$B(w)=\frac{1}{π} ∫_{-∞}^{∞}f(u)sin⁡(wu)du$

（3）。

若

f（x）

是偶函式，則

B（w）=0

；若

f（x）

是奇函式，則

A（w）=0

。

（ex。53）

若

$f(t)=\begin{cases} 1,當|x|<1\\[2ex] 0,當|x|>1\\[2ex] \end{cases}$

，求其傅立葉級數。

Sol：

$A(w)=\frac{1}{π} ∫_{-∞}^{∞}f(u) cos⁡(wu)du=\frac{1}{π} ∫_{-1}^{1}cos⁡(wu)du=\frac{sin⁡(wu)}{π∙w}|\begin{matrix} 1\\-1\\ \end{matrix}=\frac{2sin⁡(w)}{π∙w}$

$B(w)=\frac{1}{π} ∫_{-∞}^{∞}f(u)sin⁡(wu)du=\frac{1}{π} ∫_{-1}^{1}sin⁡(wu)du=\frac{cos⁡(wu)}{π∙w}|\begin{matrix} 1\\-1\\ \end{matrix}=0$

所以

f（x）

的傅立葉積分

$=\frac{2}{π}∫_{0}^{∞} \frac{cos⁡(wx)sinw}{w} dw$

傅立葉餘弦與正弦變換

（1）。 fc（w）

稱為

f（x）

的“傅立葉餘弦變換” （其中，

表示

cos

），

$f_c(w)＝-\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}f(x)cos(wx)dx$

（2）。 f（x）

稱為

f（x）

的“反傅立葉餘弦變換”，

$f_c(x)＝\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}f_c(w)cos(wx)dx$

（3）。 fs（w）

稱為

f（x）

的“傅立葉正弦變換” （其中，

表示

sin

），

$f_c(w)＝\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}f(x)sin(wx)dx$

（4）。 f（x）

稱為

f（x）

的“反傅立葉正弦變換” （其中，

表示

cos

），

$f_c(x)＝-\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}f_s(w)sin(wx)dx$

（5）。

它們在某些應用中仍然是首選，例如訊號處理或統計。

（ex。54）

若

$f(t)=\begin{cases} 1,當0<x<a\\[2ex] 0,當x>a\\[2ex] \end{cases}$

，求其

（1）。

傅立葉餘弦級數；

（2）。

傅立葉正弦級數。

Sol：

（1）。

傅立葉餘弦轉換，

$f_c(w)＝\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}f(x)cos(wx)dx=\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}1∙cos(wx)dx=\sqrt{\frac{2}{π}}∙[\frac{sin(aw)}{w}]$

（2）。

傅立葉正弦轉換，

$f_s(w)＝\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}f(x)sin(wx)dx=\sqrt{\frac{2}{π}} ∫_{0}^{∞}1∙sin(wx)dx=\sqrt{\frac{2}{π}}∙[\frac{1-cos(aw)}{w}]$

離散傅立葉變換

（1）。

在數字影像處理或通訊系統的應用中，所處理的資料都是離散（非連續）數值。

（2）。

令

f（x）

是週期為

2π

的週期函式

（0≦x≦2π）

，對

f（x）

做

次相同“間隔點”（是離散數值）的量測，即間隔點為

$x_k=\frac{2πk}{N}$

，

k=1， 2， …。， N-1

，量測到的值是

$\vec{f}\ =[f_o, f_1, f_2, …f_{N-2}, f_{N-1}]^T$

注：

$\vec{f}\$

符號上面有箭頭，表示其為向量。

（3）。

則

f（x）

的離散傅立葉變換

$\vec{f^A_{n}}\ =\vec{F_N}\ ・\vec{f}\$

，即

$\begin{bmatrix} f_0^{A} \\ f_1^{A} \\ .\\ .\\ .\\ f_{N-1}^{A} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} w^{0-0} & w^{0-1} & ... & w^{0∙(N-1)}\\ w^{1-0} & w^{1-1} & ... & w^{1∙(N-1)} \\ .\\ .\\ .\\ w^{(N-1)∙0} & w^{(N-1)-1} & ... & w^{(N-1)∙(N-1)} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ .\\ .\\ .\\ f_{N-1} \end{bmatrix}$

其中，

（a）

。

為

NxN

傅立葉矩陣。

（b）。

$w^{a∙b}$

的

a・b

是矩陣行與列位置的相乘，因

為

NxN

矩陣，有時候

$w^{a∙b}$

會寫成

$w_N^{a∙b}$

（c）。

$w=e^{\frac{-2πi}{N}}$

。

（d）。

$w^n=e^{\frac{-2πni}{N}}=cos⁡(\frac{-2πn}{N})+isin(\frac{-2πn}{N})$

（ex。55）

令

N=4

次量測（取樣值），量到的值為

，此離散傅立葉變換為何？

Sol：

$\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix}$

＝

$\begin{bmatrix} w^0 & w^0 & w^0 & w^0\\ w^0 & w^1 & w^2 & w^3 \\ w^0 & w^2 & w^4 & w^6\\ w^0 & w^3 & w^6 & w^9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10 \\ 3+3i \\ 0\\ 3-3i \end{bmatrix}$

快速傅立葉變換

（1）。

離散傅立葉變換的矩陣

NxN

，若取樣點有

1，000

點，其計算時間會很常，此時可以用快速傅立葉變換

（Fast Fourier Transform， FTF）

來解題。

（2）。

快速傅立葉變換是將

分成

組，即

N=2M

來解。

（3）。

將原向量

$\vec{f}\ =[f_0, f_1 … f_{N-1}]^T$

分解成二個包含

個分量的向量，及包含所有的偶數分量

$\vec{f_{even}}=[f_0, f_2 … f_{N-2}]^T=[f_{even, 0}, f_{even, 2}, … ,f_{even, M-1}]^T$

，和包含所有的奇數分量

$f_{odd}=[f_1, f_3, … f_{N-1}]^T=[f_{odd, 0}, f_{odd, 2}, … ,f_{odd, M-1}]^T$

（注：有頂線的

表一向量，而無頂線的

表一純量。）

（4）。

分別對

$f_{even}$

和

$f_{odd}$

計算其離散傅立葉變換，可利用下列公式求得：

$\vec{f_{even}^A}=[f^A_{{even}, 0}, f^A_{{even}, 1}, … ,f^A_{{even}, M-1}]^T＝\vec{F_Mf_{even}}$

——-（A）

$\vec{f_{odd}^A}=[f^A_{{odd}, 0}, f^A_{{odd}, 1}, … ,f^A_{{odd}, M-1}]^T＝\vec{F_Mf_{odd}}$

——-（B）

（注：上面兩個

是相同的。）

（5）。

由

（A）、（B）

我們可以得到某一組量測點

的離散傅立葉變換，即為：

$\begin{cases} f^A_n=f^A_{odd}+w^n_Nf^A_{odd},n＝0,1,…,M-1\\[2ex] f^A_{n+M}=f^A_{odd}-w^n_Nf^A_{odd},n＝0,1,…,M-1\\[2ex] \end{cases}$

（ex。56）

令

N=4

次量測（取樣值），量到的值為

，此離散傅立葉變換為何？

Sol：

因

N=4

，所以

$M=\frac{N}{2}=2$

，而

$W^0_M=(e^{\frac{-2πi}{2}})^0＝1$

，

（M=2）

，

$W^1_M=(e^{\frac{-2πi}{2}})^1＝cos(-π)+isin(-π)=-1$

$F_2=\begin{bmatrix} w^0 & w^0 \\ w^0 & w^1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$W^0_N=(e^{\frac{-2πi}{2}})^0=1$

，

（N=4）

，

$W^1_N=(e^{\frac{-2πi}{2}})^1=cos(-\frac{π}{2})+isin(-\frac{π}{2})$

由

（A）

式得

$\vec{f_{even}^A}=\begin{bmatrix} f^A_0 \\ f^A_2 \end{bmatrix}=F_2\vec{f_{even}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} f_0 \\ f_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_0+f_2 \\ f_0-f_2 \end{bmatrix}$

由

（B）

式得

$\vec{f_{odd}^A}=\begin{bmatrix} f^A_1 \\ f^A_3 \end{bmatrix}=F_2\vec{f_{odd}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} f_1 \\ f_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_1+f_3 \\ f_1-f_3 \end{bmatrix}$

由

（C）

式得

$f^A_n=f^A_{even, 0}+w^n_Nf^A_{odd, 0}＝(f_0+f_2)+(f_1+f_3)＝f_0+f_1+f_3+f_4=0+1+4+9=14$

由

（D）

式得

$f^A_1=f^A_{even, 1}+w^n_Nf^A_{odd, 1}＝(f_0-f_2)-i(f_1+f_3)=f_0-if_1+f_2+if_3=0-i-4+9i=-4+8i$

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