無為輕狂2021-12-25 15:27:02

先判斷這是正項級數還是交錯級數

一、判定正項級數的斂散性

1。先看當n趨向於無窮大時，級數的通項是否趨向於零（如果不易看出，可跳過這一步）。若不趨於零，則級數發散；若趨於零，則

2。再看級數是否為幾何級數或p級數，因為這兩種級數的斂散性是已知的，如果不是幾何級數或p級數，則

3。用比值判別法或根值判別法進行判別，如果兩判別法均失效，則

4。再用比較判別法或其極限形式進行判別，用比較判別法判別，一般應根據通項特點猜測其斂散性，然後再找出作為比較的級數，常用來作為比較的級數主要有幾何級數和p級數等。

二、判定交錯級數的斂散性

1。利用萊布尼茨判別法進行分析判定。

2。利用絕對級數與原級數之間的關係進行判定。

3。一般情況下，若級數發散，級數未必發散；但是如果用比值法或根值法判別出絕對級數發散，則級數必發散。

4。有時可把級數通項拆分成兩個，利用“收斂+發散=發散”“收斂+收斂=收斂”判定。

三、求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域

1。若級數冪次是按x的自然數順序遞增，則其收斂半徑由或求出，進而可以寫出收斂區間，再考慮區間端點處數項級數的斂散性可得冪級數的收斂域。

2。對於缺項冪級數或x的函式的冪級數，可根據比值判別法求收斂半徑，也可作代換，換成t的冪級數，再求收斂半徑。

四、求冪級數的和函式與數項級數的和

1。求冪級數的和函式主要先透過冪級數的代數運算、逐項微分、逐項積分等性質將其化為幾何級數的形式，再求和。

2。求數項級數的和，可利用定義求出部分和，再求極限；或轉化為冪級數的和函式在某點的函式值。

五、將函式展開為傅立葉級數

將函式展開為傅立葉級數時需根據已有公式求出傅立葉係數，這時可根據函式的奇偶性簡化係數的計算，然後再根據收斂性定理寫出函式與其傅立葉級數之間的關係。