導數定義相關性質總結

摘要：

函式在一點處可導本質就是一個極限存在，那麼學習導數的過程中其實還是在複習函式極限而已，本文重點對導數的定義進行研究，透過列舉一些相關性質來幫助大家更好的理解！

導數定義

設函式

在點

$x_{0}$

的某鄰域內有定義，若極限

$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \\$

或

$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \\$

存在，則稱函式

在點

$x_{0}$

處可導，並稱該極限為函式

在點

$x_{0}$

處的導數，記作

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)\text { 或 } \left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}} \text { 或 }\left. \frac{d y}{d x}\right|_{x=x_{0}} \\$

注意：

1。當題目中條件給出

在點

$x_{0}$

處可導，此時我們肯定會推出函式

在點

$x_{0}$

的某鄰域內有定義。

2。由於函式在一點處可導本質就是一個極限存在，那麼涉及到函式極限有關的性質，比如區域性有界，保號性等性質仍然可以拿來用！

3。若函式

在點

$x_{0}$

處可導，則

在點

$x_{0}$

處連續。

因為極限存在

$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \\$

顯然可得

$\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)-f\left(x_{0}\right) \\ =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \times\left(x-x_{0}\right) \\ =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \times \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}\left(x-x_{0}\right) \\ =0 \end{array}\\$

單側導數定義

設函式

在點

$x_{0}$

的某右鄰域

$\left[x_{0}, x_{0}+\delta\right)$

上有定義，若右極限

$\begin{array}{l} \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ =\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \end{array}\\$

存在，則稱該極限值為

在點

$x_{0}$

的右導數，記作

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right) \\$

同理可以定義左導數

$f^{\prime}_{-}\left(x_{0}\right) \\$

注意：

1。

在點

$x_{0}$

處可導的充要條件是

在點

$x_{0}$

處的左右導數都存在且相等。

2。

在點

$x_{0}$

處的左導數存在代表

在點

$x_{0}$

處左連續，

在點

$x_{0}$

處的右導數存在代表

在點

$x_{0}$

處右連續，如果

在點

$x_{0}$

處的左右導數都存在，即使不相等，也能夠推出來

在點

$x_{0}$

處連續。

3。一定要區別開

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)與f^{\prime}\left(x_{0}+\right) \\$

的差別！

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right) \\$

表示

在點

$x_{0}$

處的右導數。

$f^{\prime}\left(x_{0}+\right) \\$

表示的是導函式

$f^{\prime}\left(x\right)$

在

$x=x_{0}$

的右側極限值。

導數定義相關性質總結

性質1.

函式

在點

$x_{0}$

處可微的充分必要條件是，存在

$x_{0}$

的某個鄰域

以及定義在

上且在

$x_{0}$

處連續的函式

，使

$f(x)=f(x_{0})+g(x)(x-x_{0})，（x\in U） \\$

分析：此性質就是華師課本102頁引理，課本證明很詳細，在此不再書寫！

性質2.

如果

在點

處可導，且

在

點連續，則

在

點可導。

證明：

（1）若

，由極限的保不等式性可得存在

$\delta>0$

，使得

$當x\in(a-\delta，a+\delta)，f(x)>0 \\$

則此時

$\begin{array}{l} x \in(a-\delta, a+\delta) \\ \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a} \\ =|f|^{\prime}(a) \end{array}\\$

即

在

點可導。

（2）若

，由極限的保不等式性可得存在

$\delta>0$

，使得

$當x\in(a-\delta，a+\delta)，f(x)<0 \\$

則此時

$\begin{array}{l} x \in(a-\delta, a+\delta) \\ \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{-|f(x)|+|f(a)|}{x-a} \\ =-|f|^{\prime}(a) \end{array}\\$

即

在

點可導。

（3）若

，又

$|f(x)|\geq 0$

，則

是

的極小值點，又

在點

處可導，由費馬定理可得，

$|f|^{\prime}(a)=0$

，則

$\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| \\ =\lim \limits_{x \rightarrow a}\left|\frac{f(x)}{x-a}\right| \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left|\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}\right| \\ =|| f|^{\prime}(a)|=0 \end{array}\\$

顯然可得

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0 \\$

則

在

點可導。綜上可得：

在

點可導。

注意：

（3）的證明其實是利用一個常見的極限性質，

$\begin{array}{l} \text { 若 } \lim \limits_{x \rightarrow a}|f(a)|=0 \\ \text { 則 } \lim \limits_{x \rightarrow a} f(a)=0 \end{array}\\$

性質3.

（2019年廈門大學數學分析真題）

1。若

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)>0 \\$

則存在

$\delta>0$

，有

$f(x_{0}) < f(x)，x \in(x_{0},x_{0}+\delta)\\$

2。若

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)<0\\$

則存在

$\delta>0$

，有

$f(x) < f(x_{0})，x \in(x_{0},x_{0}+\delta) \\$

（同理可研究

$f^{\prime}_{-}\left(x_{0}\right)$

的情況）

證明：只證明1即可。

因為

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)>0 \\$

由極限的保號性可得，存在

$\delta>0$

，有

$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0，x \in(x_{0},x_{0}+\delta) \\$

從而可得

$f(x)-f(x_{0})>0，x \in(x_{0},x_{0}+\delta) \\$

即

$f(x_{0}) < f(x)，x \in(x_{0},x_{0}+\delta) \\$

注意：

1。僅僅根據

$f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)>0 \\$

我們並不能得到存在

$\delta>0$

，使得

在

$x \in(x_{0},x_{0}+\delta)$

上單調遞增！大家一定要小心哦，很多同學在這個地方都犯過錯！！！例如，令函式為

$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0 \end{array}\right.\\$

此時可得

$x \neq 0 \text { 時 }, f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}+2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} \\$

$\begin{array}{l} x=0 \text { 時, } \\ f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2}+x \sin \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2} \end{array}\\$

如果

$\delta>0$

，使得

在

$x \in(0,\delta)$

上單調遞增！又因為我們已經知道此函式

可導，所以只需要證明

$f^{\prime}\left(x\right)\geq0，x \in(0,\delta) \\$

又因為

$\lim \limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2}+2x \sin \frac{1}{x}=\frac{1}{2} \\$

則由極限的保號性可得，存在

$0<\delta_{1}<\delta$

，使得

$x \in(0,\delta_{1})$

上

$\frac{1}{2}+2x \sin \frac{1}{x} < \frac{3}{4} \\$

又對於函式

$\cos \frac{1}{x}$

來說，可以找到

$x_{1} \in(0,\delta)$

使得

$\cos \frac{1}{x_{1}}>\frac{3}{4} \\$

從而可得

$f^{\prime}(x_{1})=\frac{1}{2}+2 x_{1} \sin \frac{1}{x_{1}}-\cos \frac{1}{x_{1}}<0 \\$

與

$f^{\prime}\left(x\right)\geq0，x \in(0,\delta) \\$

矛盾！

（關於證明此具體函式不能找到相應的

$\delta>0$

，使得

在

$x \in(0,\delta)$

上單調遞增，在2013上海大學、2005廣西大學均有考察！）

2。利用性質3即可證明華師課本97頁定理5。3費馬定理。

3。利用性質3即可解決華師課本第五章導數和微分第一節導數的概念課後習題14題。

證明：若函式

在

上連續，且

$f(a)=f(b)=K \\$

$f^{\prime}_{+}\left(a\right)f^{\prime}_{-}\left(b\right)>0 \\$

則在

內至少存在一點

$\xi$

，使得

$f(\xi)=K$

性質4.

設

$u=\varphi(x)$

在點

$x_{0}$

可導，

在

$u_{0}=\varphi\left(x_{0}\right)$

可導，則複合函式

$f^{\circ} \varphi$

在點

$x_{0}$

可導，且

$(f \circ \varphi)^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(u_{0}\right) \varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(\varphi\left(x_{0}\right)\right) \varphi^{\prime}\left(x_{0}\right) \\$

注意：

此性質即為複合函式的求導公式，反過來不成立的，具體可以參考華師課本第五章導數和微分總練習題第5題（121頁）

性質5.

僅僅在已知點

$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$

不可導的連續函式為

$y=\left|x-a_{1}\right|+\left|x-a_{2}\right|+\cdots+\left|x-a_{n}\right| \\$

僅僅在已知點

$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$

可導的函式為

$y=\left(x-a_{1}\right)^{2}\left(x-a_{2}\right)^{2} \cdots\left(x-a_{n}\right)^{2}D(X) \\$

注意：

此性質要記住，因為在考研判斷題中經常會出現！

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