洪武ea2017-10-31 20:58:40

［隨便說一下自己的理解。。

感覺是利用極限，或者說有理數集的稠密性，來把冪從有理數延拓到實數並保持函式光滑，就像階乘延拓到伽馬函式，黎曼ζ函式從實部大於1解析延拓到1之外的複平面並保持函式全純一樣。

或者這樣定義

這樣也可以方便的把x推廣到複數上。

supersarah2017-11-03 19:41:26

@洪武ea 的回答已經很好了。。。。

我在高中的時候，對這個問題的理解是：任何一個無理數 x，都能找到兩個有理數數列 遞增數列 q（n） 和 遞減數列 Q（n）， 滿足 q（n） < x < Q（n）

也就是，q（n+1）>q（n）， Q（n+1）∞） q（n） = lim（n->∞） Q（n） = x

那麼 e^q（n） < e^x < e^Q（n），

|e^x - e^q（n）| 和 |e^x - e^Q（n）| 一定小於 |e^Q（n） - e^q（n）|

我們總能 取到足夠大的 N， 使得 |e^Q（n） - e^q（n）| < ε

也就是 lim（n->∞） e^q（n） = lim（n->∞） e^Q（n） = C

我們定義 e^x = C 就好了。。。。。

陳斌2018-03-05 02:18:16

連續單調函式，從意義的角度看，指數的值可以近似一個有理數。至於具體的計算有點難

smallsmallsky2021-10-27 18:34:19

學數分以後會用上下確界來明確定義無理數指數冪的概念，所以不用著急啦。

大老虎2021-10-30 21:53:35

無理數也是一個數，在數軸上能找到對應的某一確定的點，有理數指數冪的意義比較明顯，它可以看成n次方根，到無理數的意義就沒有那麼明顯，這完全是數學理性思維的結果，從思維的角度看，也是自然的。可以用無限逼近思想解釋，如下圖：

無理數指數冪的運演算法則

https：//www。zhihu。com/video/1438245374540165120

我們可以想象和推斷這個點在數軸上存在且唯一，是一個實數，（單調有界必有極限），基於此研究，指數函式的指數取值範圍可以是全體實數，底數在此僅研究大於0的情況，由此任何一個正數指數冪是一個確定的實數。

以上並不是嚴格證明，僅是透過逼近思想去直觀認識。