1。5 n 維 R 空間的拓撲（續）

1。5。2 點的分類

首先是

內點、外點和邊界點

。其含義根據各自的名字就可以猜出，如下圖所示

實變函式第04講（集合：點的分類與點集的分類）

下面用數學語言定義這三類點。對於高維空間的一個區域 E，以及一個點 x

內點

：E 包含 x 的某個鄰域

外點

：x 的某個鄰域與 E 不相交

邊界點

：x 的任何鄰域都與 E 相交但又不被 E 所包含

內點、外點和邊界點的集合分別稱內域、外域和邊界。分別記作

\[E^\circ \]

，

\[(E^c)^\circ \]

和

E^b

或

\[\partial E\]

，可參考上圖。

內點、外點和邊界點不相容

內點 x 一定屬於 E

外點 x 一定不屬於 E

邊界點 x 可能屬於 E 也可能不屬於 E

然後是

聚點和孤立點

。還是對區域 E 和點 x。

聚點

：如果 x 的任意鄰域中都有 E 的無窮多點，則 x 為 E 的聚點。所有的聚點集合稱為導集，記作

E

閉包

：集合 E 擴充其所有聚點 E‘ 後得到閉包，記作

\bar{E}=E \cup E^{\prime}

孤立點

：如果

邊界點

x 不是聚點，那麼稱為孤立點。（為什麼要求邊界點？因為內點和外點都一定是 & 不是聚點。）

幾點說明：

聚點可能屬於 E 也可能不屬於 E

考慮 E 的所有邊界點都不屬於 E 即可

每個鄰域都包含 E 的

無窮多

點 = 每個鄰域都包含E 的除了 x 外的

至少一個

點 = x 是極限點，即存在一個點列，其每個點都在 E 中且互不相同，使得該點列的極限為 x；

證明只需不斷縮小鄰域半徑，每次從鄰域中取一點即可。為了保證互異，下一步的半徑應該取為min{0。5*前一步半徑，0。5*上一點到 x 的距離}

內點一定是聚點，聚點未必是內點，還可以是邊界點。

任意鄰域含於 E + 任意鄰域都有其他點 -> 任意鄰域都有其他點屬於 E

外點一定不是聚點。

外點存在鄰域與 E 不相交

邊界點可能是聚點也可能不是。

不是的情形如下圖所示。E 是一個圓加上外面的一個點 x，x 是 E 的邊界點，但 x 不是聚點。

實變函式第04講（集合：點的分類與點集的分類）

邊界點不是聚點

\bar{E}=E \cup E^{b}=E^{\circ} \cup E^{b}=E^{\prime} \cup\{E \text { 的所有孤立點 }\}

。

閉包 = E 加上邊界 = 內點加上邊界 = 聚點加上孤立點

x∈閉包 = x 的任何鄰域與 E 都有交集。

閉包

與邊界的區別

在於，x 的鄰域可以含於 E；

與聚點集合（導集）的區別

在於沒有把鄰域中的 x 去掉。

x ∈ 孤立點 = x 的某個鄰域與 E 的交集只有 x

邊界點 -> 任意鄰域與 E 有交點；不是聚點 -> 存在鄰域，沒有其他點。

孤立點一定屬於 E

用上面的結論可知 x 屬於 E

聚點、外點、孤立點不相容。

聚點和孤立點都是邊界點，而邊界點與外點不相容。聚點和孤立點當然不相容。

介紹完上面這 5 類點，下面定理給出它們之間的關係。

定理1

：如果 A 是 B 的子集，那麼 A 的內點集合、聚點集合、閉包分別是 B 的內點集合、聚點集合、閉包的子集。

內點

：A 的任意內點 -> 它的某個鄰域含於 A ； 而 A 是 B 的子集，所以它的某個鄰域含於 B -> 它也是 B 的內點。

聚點

：A 的任意聚點 -> 它的任意鄰域都有 A 中的其他點 ；而 A 是 B 的子集，所以它的任意鄰域都有 B 中的其他點 -> 它也是 B 的聚點。

閉包

：A 是 B 的子集 + A 的聚點集合是 B 的聚點集合的子集 -> A 的閉包是 B 的閉包的子集

定理2

：並的聚點集合 = 聚點集合的並

一方面，A 和 B 都是 A∪B 的子集 -> A 和 B 的聚點集合都是 A∪B 的聚點集合的子集 -> A，B 的聚點集合的並也是A∪B 的聚點集合的子集；

另一方面（有問題的證法），對 A∪B 的聚點 x，它的任意鄰域與 A∪B 相交都為無限集。那麼 x 的任意鄰域都至少和 A，B 中的一個相交為無限集 ->ｘ要麼是 A 的聚點，要麼是 B 的聚點。

上面的證法存在問題，如果 x 的鄰域中有一部分只與 A 相交為無限集，另一部分只與 B 相交為無限集，那麼就既不是 A 的聚點也不是 B 的聚點，如何處理這個情況我還沒想出來，但反證可以處理。

反證

：如果 x 既不是 A 的聚點也不是 B 的聚點，那麼存在 x 的一個鄰域與 A 相交沒有除 x 外的其他點，另一個鄰域與 B 相交沒有除 x 外的其他點。取這兩個鄰域中較小的那個，該鄰域與 A∪B 相交沒有其他點，進而不是 A∪B 的聚點。

注1

：交的聚點集合 ≠ 聚點集合的交。只需取 A，B 分別為有理數集和無理數集，那麼 A，B 的 導集都為全體實數，但它們相交是空集，空集的導集是空集。可以證明 交的聚點集合 包含於 聚點集合的交。

推論

：並的閉包 = 閉包的並，證法差不多。

定理3（聚點定理）

：n 維實數空間的有界無限集合至少有一個聚點。

數學分析中已經對一維情形加以證明，可以將該證明推廣。

1。5。3 孤立集與稠密集

現在對 n 維空間中的點按照稠密程度來分類。涉及到兩個新概念：孤立集合稠密集。

孤立集

：E 中每個點都是孤立點，則 E 為孤立集

如果 E 是孤立集，那麼它的聚點都不屬於 E。

根據定義即可得到

孤立集為至多可數集。

E 中的任意 x -> x 為孤立點 -> x 的某個鄰域與 E 相交只有 x 沒有其他點；從該鄰域的一個更小的鄰域（半徑可取為一半）中取一個有理點，由此建立 x 到 n 維有理空間的對映。

可驗證該對映為

單射

：對於兩個不同的 x1 和 x2，上述取法中兩個鄰域應該彼此不相交（x1 和 x2 的鄰域都不包含對方，那麼半徑對半之後兩個鄰域應該不相交），對應取的有理點當然不同。而有理數集是可數集 -> n 維有理數集也是可數集 -> E 為至多可數集。

離散集

：E 沒有聚點，則 E 為離散集。

離散集都是孤立集，但孤立集未必是離散集。

\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots\right\}

為孤立集，但有聚點 0。

稠密集

：E 的閉包 = 全空間，那麼稱 E 為稠密集。

稠密子集

：如果B 的子集 A 的閉包包含了 B，稱 A 是 B 的稠密子集。

疏朗集

：如果 E 的閉包中不包含任何鄰域，那麼稱 E 為無處稠密集，也稱疏朗集。

有理數集是稠密集，正整數集是疏朗集。

1。5。4 開集、閉集、自密集和完備集

開集

：E 中的點都是內點，則 E 為開集。

E 是開集

\Leftrightarrow

E = E 的內域

n 維 R 空間是開集。另外，

規定空集是開集

。

一個集合是否為開集，與所屬空間有關。

對 1 維的一個區間，它是開集；但如果把 1 維區間放在 2 維空間中，它就不是開集了。

閉集

：E 的每個聚點都屬於 E，則 E 為閉集。

E 是閉集 = E 的閉包就是本身 = E 的邊界點含於 E

這顯然的，閉包就是 E 加上聚點，而聚點就在 E 中；而我們知道邊界點中只有聚點是可能不屬於 E 的，但在閉集下沒有這個可能。

n 維 R 空間是閉集。

規定空集也是閉集

。

自密集

：E 的每個點都是聚點，則 E 是自密集。（注意它和閉集的區別）

E 是自密集 = E 的導集就是 E 的閉包

顯然，E 含於 E’ -> 兩者並起來等於 E‘

任意多個自密集的並也是自密集

利用結論：並的導集 = 導集的並；

有理數集和無理數集都是自密集

完備集

：閉集 + 自密集 = 完備集。即 E 由其所有聚點組成。

完備集 等價於 E = E’

全集與空集都是完備集。任何閉區間都是完備集。

下面是這四個集合的一些性質。

定理4

：E 的內域是開集，E 的導集和閉包都是閉集。

內域

：即證 E 的內域 含於 E 內域的內域；x ∈ E 內域 -> x 的某鄰域 A 含於 E -> 取 x 的半徑為該鄰域一半的鄰域 B，則 B 中的點都是 E 的內點：任取 B 中點 y 可構造鄰域包含於 A，進而包含於 E -> y 是內點。再以 x 為中心，取半徑為 B 的一半作鄰域 C，則 C 含於 全是內點的集合 B -> x 是內域的內點。

導集

：即證 （E‘）’ 含於 E‘；x0 是導集的聚點 -> 存在 x0 的鄰域與導集相交還有其他點，記作 x1。x1 屬於導集 -> x1 的任意鄰域交 E 都有其他點。取 x1 的一個小鄰域使得它含於上面 x0的鄰域，那麼也就說明 x0 的鄰域交 E 有其他點 -> x0 是 E 的聚點。

閉包

：利用 並的導集 = 導集的並。E 閉包的導集 = E’ ∪ （E‘）’ ，而前面已證明 E‘ 是閉集，所以 E’ ∪ （E‘）’ = E‘ 含於 E 閉包，即 E 閉包的導集 含於 E 閉包 ->Ｅ閉包為閉集。

定理5

：開集的補集是閉集；閉集的補集是開集。

開集 ->

\[G^\circ = G\]

，只需證

\[\overline {{G^c}} = {\left( {G^\circ } \right)^c} \]

；而閉包可以等價為 內點+邊界；補集的內點就是原集合的外點，因此左右兩邊都是原集合的外點 + 邊界，自然相等。

閉集 -> F 中包含了 F 的內點+邊界點 -> F 的補集僅包含 F 的外點 -> F 補集是開集

許多教材也把定理5作為開集、閉集的定義。

定理6

：

任意多個閉集的交還是閉集，有限個閉集的並還是閉集；

任意多個開集的並還是開集，有限個開集的交還是開集；

這兩條可由定理5結合De Morgan公式推出等價，只證明第一條。

一方面，設 F 是任意多個閉集的交 -> F 是任意一個閉集的子集 -> F 的導集是任意一個閉集的導集的子集 -> F 的導集是任意一個閉集的子集 -> F 的導集是 F 的子集 -> F 是閉集。

其中第二步利用定理1，第三步利用閉集定義

。

另一方面，對於有限個並只需證明兩個並是成立的。利用 （F1∪F2）’ = F1‘∪F2’ ，根據閉集定義有 F1‘ 和 F2’ 分別是 F1 和 F2 的子集，-> （F1∪F2）‘ 是 F1∪F2 的子集 -> F1∪F2 是閉集

需要注意

，任意多個閉集的並集未必是閉集；任意多個開集的交集未必是開集。反例如下。

無限個閉區間並起來成了開區間：

\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-1+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right]=(-1,1)\\

無限個開區間交起來成了單點集：

\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)=\{0\}\\

下一講的開始將介紹開集構造定理，它說明一維實數空間中的任意開集都可以由至多可數個開區間進行構造，並給出一個集合是完備集的充要條件。之後還會介紹一個特殊的完備集Cantor集，它是［0，1］的子集。看起來它已經被挖得千瘡百孔，但仍然具有連續統勢。許多反例都由它來構造。