函式有界的定義：設f為定義在D上的函式，若存在正數M，使得對每一個x∈D，有

M

，則稱f為D上的有界函式。

放縮法

對原函式進行放縮，使原函式變為一個常數，或者簡化原函式從而找出M。

Hn≤Gn≤An≤Qn（均值不等式）就是一種很好的放縮工具。

調和平均數

幾何平均數

算數平均數

平方平均數

例：證f（x）＝

（x∈R）為有界函式。

解：∵

∴

∴f（x）為定義在R上的有界函式。

定義法

函式既有上界又有下界，則函式有界。所以可以分別證明f有上界，f有下界，則f有界。

運演算法

若f，g在相同的定義域上均有界則f和g做加法，減法，乘法後得到的函式仍有界函式。

證明：設f，g為定義在D上的函式，且

，

。（

，

≥0）

加法：

≤

＝

∴h＝f＋g為定義在D上的有界函式。

減法：∵

∴

∴

∴h＝f－g是定義在D上的有界函式。

乘法：

∴h＝f·g為定義在D上的有界函式。

除法：設D＝（0，1），

，

。則

，

。

，

M＞0，

，s。t。

∴

為無界函式。

注：這個方法在用的時候要證明，不能直接用。（比如你想用兩個函式相加得到的函式仍是有界函式那一條你把已知的兩個函式帶入上面的公式寫一遍，而不能直接說，因為這兩個函式有界，他倆相加就有界。）

單調性法

（作者想不到描述這個方法合適的名字了，，，）

若函式在定義域上可導，則可對函式求導判斷出函式的單調性，然後求出定義域內的最大值

和最小值

則M＝MAX{

，

}，

。（此法不常用，如果求導很簡單的話，這題就太簡單了，就沒啥意義了。若定義域上除了個別點之外都可導，則可以單獨求那幾個點的數值。）

連續法

（作者想不到描述這個方法合適的名字了，，，）

閉區間上的連續函式有界

（這是個定義，可以直接用）

若函式定義在閉區間上，證明函式連續，則函式有界。（初等函式在其定義區間為連續函式，這個已經證明可以直接用）

這個方法簡單粗暴，比如

，x∈D，D＝【4，8】。可以說f（x）是定義在D上的連續函式，D為閉區間，所以f（x）為D上的有界函式。這就證完了。

極限法

上一個方法是針對於閉區間的函式而這個方法就是針對於開區間的函數了。

（這是個定理，也可以直接用）

證f為定義在D上的有界函式，D＝（a，b）。

若你可以證明f在D上連續，

存在，

存在，即可證明f為D上的有界函式。證法如下：取

，在以a為中心，

為半徑的右鄰域內

存在，所以f在這個右鄰域內有界。取

，在以b為中心，

為半徑的左鄰域內

存在，所以f在這個左鄰域內有界。∵f在（a，b）上連續∴f在

＝【

，

】上連續，所以f在

上有界。所以f為定義在上的有界函式。

到此，本片文章就結束了，因為作者的水平非常有限所以總結的不夠全面，也可能存在錯誤，歡迎大家無償補充和指正錯誤，希望這些總結能幫到大家。