Seveniny2019-10-12 13:46:19

多項式 polynomial

若干個單項式的和組成的式叫做多項式（減法中有：減一個數等於加上它的相反數）。多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數。不含字母的項叫做常數項。如一式中：最高項的次數為5，此式有3個單項式組成，則稱其為：五次三項式。

比較廣義的定義，1個或0個單項式的和也算多項式。按這個定義，多項式就是整式。實際上，還沒有一個只對狹義多項式起作用，對單項式不起的定理：0作為多項式時，次數為負無窮大。

［編輯本段］多項式歷史

多項式的研究，源於“代數方程求解”， 是最古老數學問題之一。有些代數方程，如x+1=0，在負數被接受前，被認為是無解的。另一些多項式，如f（x）=x² + 1，是沒有任何根的——嚴格來說，是沒有任何實數根。若我們容許複數，則實數多項式或複數多項式都是有根的，這就是代數基本定理。

能否用根式求解的方法，表達出多項式的根，曾經是文藝復興後歐洲數學主要課題。一元二次多項式的根相對容易。三次多項式的根需要引入複數來表示，即使是實數多項式的實數根。四次多項式的情況也是如此。經過多年，數學家仍找不到用根式求解五次多項式的一般方法，終於在1824年阿貝爾證明了這種一般的解法不存在，震撼數壇。數年後，伽羅華引入了群的概念，證明不存在用根式求解五次或以上的多項式的一般方法，其理論被引申為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論也證明了古希臘難題三等分角不可能。另一個難題化圓為方的不可能證明，亦與多項式有關，證明的中心是圓周率乃一個超越數，即它不是有理數多項式的根。

［編輯本段］多項式函式及多項式的根

給出多項式 f∈R［x1，。。。，xn］ 以及一個 R-代數 A。對 （a1。。。an）∈An，我們把 f 中的 xj 都換成 aj，得出一個 A 中的元素，記作 f（a1。。。an）。如此， f 可看作一個由 An 到 A 的函式。

若然 f（a1。。。an）=0，則 （a1。。。an） 稱作 f 的根或零點。

例如 f=x2+1。若然考慮 x 是實數、複數、或矩陣，則 f 會無根、有兩個根、及有無限個根！

例如 f=x-y。若然考慮 x 是實數或複數，則 f 的零點集是所有 （x，x） 的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。

［編輯本段］代數基本定理

代數基本定理是指所有一元 n 次（複數）多項式都有 n 個（複數）根。

［編輯本段］多項式的幾何特性

多項式是簡單的連續函式，它是平滑的，它的微分也必定是多項式。

泰勒多項式的精神便在於以多項式逼近一個平滑函式，此外閉區間上的連續函式都可以寫成多項式的均勻極限。

［編輯本段］任意環上的多項式

多項式可以推廣到係數在任意一個環的情形，請參閱條目多項式環。