知乎使用者2016-04-28 23:45:23

對於無限集合來說，衡量哪個多哪個少，看的是能否建立一一對映。自然數與有理數可以建立一一對映，所以兩者一樣多，儘管前者是後者真子集。實數比自然數要多得多。但是［0，1］之間的實數是可以與全體實數建立一一對應的。至於具體的細節，可以搜尋“集合 cardinality”

袁嵐峰2016-04-29 02:02:38

謝邀。

這句話是正確的，因為

區間[0, 1]中的實數個數和整個實數集合的實數個數都是一階無窮大

。

無窮集合之間要比較大小，不能像有限集合那樣數數，只能看兩者之間能不能建立一一對應。

如果能建立一一對應，就定義兩個無窮集合的元素個數就相等。

這個思想是德國數學家康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor， 1845 - 1918）提出的。

康托爾

根據這種思維方式，偶數集合跟奇數集合一樣大。因為每取一個偶數2n，都可以取它減去1得到的奇數2n-1來跟它對應。這一點很容易接受，對不對？

你還會立刻發現，這樣的一一對應不是唯一的。你可以讓2n跟2n+1對應，也可以讓2n跟2n-3對應……還可以設計出更多更復雜的一一對應方式。

那麼我們再來看下一個命題：整數集合跟偶數集合一樣大。因為每取一個整數n，都可以取它的二倍2n來跟它對應。這會讓很多人感到不可思議，因為偶數集合是整數集合的真子集。但根據定義，這個推導完全正確。實際上，

無窮集合的本質特徵之一，就是有可能和自己的真子集一樣大

。

現在我們來比較區間［0， 1］中的實數個數和整個實數集合的實數個數。很容易設計多種一一對應，我這裡展示一種直截了當的，請讀者再想想其他的。

把［0， 1］中的數表示成十進位制小數，那麼它們都是0。xxx。。。，即0。後面跟若干位數字串，長度有限或無限。這些數字串的最前面有多少位是連續的0？把連續的0的位數記為N，也就是說，第N+1位是第一個不是0的數。把小數點移到第N+1位後面，我們就得到了一個［1， 10）中的數。用科學記數法，把這個［1， 10）中的數乘以適當的指數因子，就可以表示所有的實數。

為了表示實數中的正數和負數、絕對值大於1的數和絕對值小於1的數這總共4種情況，我們來考察N除以4餘幾：

當N = 4n （n >=0）時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的n-1次方（這純粹是為了讓N = 0的小數即小數位後第一位就不是0的小數對應自己）。例如0。12對應1。2E-1，即0。12。0。000012對應1。2E0，即12。

當N = 4n+1 （n >= 0）時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的-（n+2）次方。例如0。012對應1。2E-2，即0。012（又對應了自己）。0。0000012對應1。2E-3，即0。0012。

當N = 4n+2 （n > 0）時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的n-1次方，再加個負號。例如0。0012對應-1。2E0，即-1。2。

當N = 4n+3 （n >= 0）時，把小數點移到第N+1位後面，然後乘以10的-（n+2）次方，再加個負號。例如0。00012對應-1。2E-2，即-0。012。

再加一條，0就對應0。

用這種方法，你

在[0, 1)中的數和全體實數之間建立了一一對應

。你甚至都還沒有用到1這個數！當然這無關大局，容易證明［0，1］和［0， 1）的元素數目是一樣多的。容易證明，任何一個無限集合加上一個有限集合，總集合的元素數目都跟最初的無限集合相等。

那麼有人會問了：是不是所有無限集合的元素數目都是一樣多的？不是。

可以證明，

實數集合的元素數目就多於整數集合的元素數目

，你絕不可能在兩者之間建立起一一對應。於是人們

把整數的數目叫做零階無窮大，實數的數目叫做一階無窮大，後者大於前者

。同樣還會有二階、三階以至任意（有限）階的無窮大。

如果你感到頭暈目眩，這很正常，請再仔細想想。如果你感到很有道理，“本來就應該是這樣的嘛”，恭喜你，你的數學天分不錯！

匿名使用者2016-04-29 06:32:24

一個簡單的一一對應方法是這樣的。

這個墜痛苦的就是手指，描圖的時候一下子就。。。。。

解釋一下，首先在下面做一個半圓，按照垂直的方向可以將線段和半圓一一對應。

然後將圓心與半圓上任意一個點連線起來，恰好對應直線上一點，就建立了一一對應。

匿名使用者2016-04-29 20:00:45

你算一下它的值域就知道了。

鵬鵬2016-05-19 08:24:52

這不是實變函式的基本理論麼，可列集元素個數（基數，勢）都是

，不可列集元素個數都是

，任何區間內的實數集都屬於不可列集。