小蜜蜂問答

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AP微積分BC-Taylor series (泰勒級數)

時光流韻發表于娛樂2019-11-27

在多位基友的建議下，我決定寫一篇AP微積分文章，經過精心挑選，我決定選擇Taylor級數這個知識點，這也是每年AP微積分BC的FRQ部分必考的知識點。

（此篇文章主要給在高中備考AP微積分考試的學生，國內的大學生如果沒有理解泰勒級數也可以參考）

現在我們快樂的開始波瀾壯闊的·數學之旅！

在同學們第一次學習泰勒級數的時候，老師通常只會告訴你泰勒級數就是用多項式函式來近似一個函式，然後通常，同學們會看到下面的

哲學

公式：

$f(a)+\frac {f$

Remark：

$f^{(n)}(a)=\frac {d^n f}{dx^n}(a)$

，也就是

在

的

階導數，通常用於導數高於三階。

此時同學們一般會發出下列表情：

小明：這麼一坨XX是什麼鬼？

小紅：為什麼這坨XX可以用來近似函式？

小藍：這階乘（Factorial）又是從哪來的？

小綠：這這各階導數又是幹嘛的？

小紫：為什麼把好好的函式變成這坨XX？

分割線——————————————————————————————

告訴大家一個秘密，其實你們早已見過泰勒級數了，就是在小學二年級學過的物理中…………大家猜猜是哪裡呢……。。。就是單擺的週期！！！！！

同學們一定還記得，你們可愛的物理老師說過，單擺的擺角小於

$5^\circ$

時，擺的運動可以看作簡諧運動，也就是傳說中的小角近似，這裡用到了在

的值很小時，

$\cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}$

這個近似，讓我們來看看這兩個函式的影象：

可以看出，在

很小時，這兩個函式確實很接近。

這個近似是怎麼來的呢，其實就是泰勒級數。

我們現在嘗試用上面的公式來進一步逼近原函式：

顯然，當我們保留更多的項時，這個多項式與原函式更加接近。

為什麼呢？

好，讓我們從頭說起，就用

$\cos x$

作為我們的例子。

嗯。。。首先，我們想要在某點附近構造一個多項式函式來逼近原函式，為了簡單，就從

開始吧。

我們需要的多項式長這個樣子：

$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$

首先，我們想要的多項式函式在

處的值和

$\cos 0$

相等，所以，

，然後呢，我們還想要這個多項式與

$\cos x$

在

處的導數也相同，也就是

，嗯，顯然，因為

$\cos x$

在

處是平的，所以，它的一階導數為

，並且很容易注意到，

，也就是說，函式在

處的導數值僅僅被

控制。

好啦，現在我們得到了

，為了更好的逼近原函式呢，我們還想要多項式的二階導數也與原函式相同，也就是說

，注意！！！函式在

處的二階導數值僅僅被

控制，因為在求導的過程中常數項與一次項全部消失，帶入

後，高次項也為

，同時，這裡出現了

的階乘，那麼，階乘從何而來呢？

階乘很自然的來自冪函式的求導法則：

${\mbox{d}x^n\over\mbox{d}x}=nx^{n-1}\qquad x\ne0$

，我們在對冪函式進行多次求導時，階乘就出現了，所以

$a_2=\frac{f$

，這裡，我們的一坨公式中的第3項就出現啦！！！！

我們繼續這個過程，保證更高階的多項式導數也與原函式相同，顯然

，所以我們繼續計算

，我們可以得到

$f^{(4)}(0)=p^{(4)}(0)=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot a_4$

，

所以

$a_4 = \frac {f^{(4)}(0)}{4!}$

，嗯，正好是泰勒級數中的第5項呢。

現在我們將求得的多項式係數帶回原式，得到：

$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4\\=1+\frac{f$

嗯，好像正好是教科書上的

$\cos x$

的三階泰勒多項式。

Remark：當函式在

處進行泰勒展開時，我們得到的級數也稱麥克勞林級數（Maclaurin Series）

至於為什麼將函式變成多項式函式呢，當然是因為多項式函式是最簡單的函式啦！

好啦，我們已經知道泰勒級數的公式從何而來啦，下面給出AP考試中要背下來的常見函式的泰勒級數哦：

$\begin{align} \sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt] \cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt] \arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i \end{align}$

$e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\ln(1+x) = \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots$

我能想起來的就這麼多啦，歡迎評論區補充。

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標籤：多項式函式級數泰勒導數