使用者14965986736292019-09-17 08:19:23

顯然：後者大於前者

這是個很簡單的問題。對指數比較大小的方法很多，一般放縮或換成同底，大多數回答都給出了詳細的方法。這裡比較感興趣的是x^y這個函式的性質，以一些直觀的形式做下拓展。

這是它在{x， 0， 10}， {y， 0， 10}上的樣子

這是它的等值線

可以看出這些等值線的疏密趨勢，y方向的梯度顯然大於x方向。每條等值線上的值呈指數翻倍才差不多疏密。不過如果比較的兩個數的值特別特別特別臨近的話，還是難直接判斷的。

有一類這樣的問題，在Bili和知乎上都有過很多——比較x^y和y^x的大小。怎樣直觀快捷地比較呢 看一下這個函式x^y - y^x的影象

可以看出被一條直線和一條曲線分為了四個對稱的區域，上下 左右反之。對x^y - y^x=0兩邊取對數得到ylnx-xlny=0 它的影象即分界線

再將這個式子變成

考察lnt/t這個函式，易知它在t=e處取得0到正無窮上的極值。t趨向正無窮時該式趨於0，t趨向0+時該式趨於負無窮。方程lnt/t=c只在c在0和1/e間時存在兩個根，即對應的兩個根在1到正無窮上。

x=1，y=1是那條像雙曲線的曲線的漸近線，它與y=x交於（e，e）。判斷（x，y）位於四個區域的那一個，即可知x^y和y^x的大小