周達通2020-03-09 15:30:07

因為它不是無理數，只是一個代數，所以小數位可以無窮個。無理數可是為了數學的定律創造出來的，因為無窮數不是創造出來的，所以可以無窮。

老張教育新思享2020-03-10 22:47:32

從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體物件與抽象物件、概念與計算等等。

在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。無理數的發現，引起了第一次數學危機。

希帕索斯的冤案,無理數的誕生

在古希臘，有一位了不起的數學家，叫做畢達哥拉斯。他創辦了一所學院“畢達哥拉斯學院”，教導了眾多的學生，從而形成了“畢達哥拉斯學派”。他認為：“數是世界的生存法則，是主宰生死的力量”，因而，他們像崇拜上帝一樣重視並推崇數學。

面對畢達哥拉斯提出的“數只有整數和分數”，他的學生希帕索斯疑惑：邊長為1的正方形，它的對角線為什麼不能用整數之比來表達 ？

作為他的老師，畢達哥拉斯大為吃驚，“新數”的提出推翻了畢達哥拉斯學派的理論，動搖了當時希臘人所持有的“一切量都可以用有理數表示”的信仰。

為了維護學派威信，他們嚴封帕索斯的發現，但是“紙是包不住火的”。該發現還是被許多人知道，學派“忠實粉”追查出是帕索斯後，認為其背叛老師，違背信仰，他們殘忍地將帕索斯扔進了地中海。

為了紀念他，人們就把希帕索斯發現的這個矛盾，叫做希帕索斯悖論，發現的“新數”稱為“無理數”。正如後人所說的，“發現無理數的人可以被消滅，無理數本身卻不能被殺戮”，

此外，這場“冤案”的出現，證明直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的。至此以後，希臘人開始由重視計算轉向重視推理，由重視算術轉向重視幾何學，並建立幾何公理體系。

無理數小數表示的無窮性

要寫出一個無理數，需要將它的所有小數羅列出來。然而，這個數列的一個鮮明特點就是無窮性：如果數列是有窮的或是無限迴圈的， 就證明這個無理數可以被寫成兩個整數的比，那麼這就應當是一個有理數。

無窮性的特點只體現在小數的書寫中，但是它說明了一個事實：這些數字的確是一個無窮過程的結果。假設我們想確認兩個無理數是否相等， 那就必須將兩個無理數的小數一位一位地比較——這將是一個無止境的工作。

對無理數的所有運算得到的結果都是無理數。無理數既是有窮的也是無窮的，這取決於我們的思考角度：從長度角度來說，線段是有窮的；但從構成線段的點的數量角度來說，線段又是無窮的。

1837年，數學家

Gustav Lejeune Dirichlet

發現，只要你對誤差不太在意，就很容易找到無理數的近似值。他證明了對於每一個無理數來說，都存在無窮多個分數與這個數字相近。

1941年，物理學家Richard Duffin和數學家Albert Schaeffer提出了一個簡單的猜想來回答這些問題。當要對無理數進行近似時，首先要選一個無限長的分母序列，這可以是一個任意數的列表，比如所有奇數、所有偶數、所有10的倍數，或者所有質數等等的序列。因此，在Duffin-Schaeffer猜想中含有一個專門用來計算每個分母可以給出的唯一分數（最簡分數）的數量的項，這個項被稱為尤拉函式。

但直到到十九世紀下半葉，實數理論建立後，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學中合法地位的確立，才真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

實數理論的建立，則有賴於微積分的發展，因為，微積分是建立在極限運算基礎上的變數數學，而極限運算，需要一個封閉的數域。無理數正是實數域連續性的關鍵。變數數學獨立建造完備數域的歷史任務，終於在19世紀後半葉，由魏爾斯特（Weierstrass），戴德金（R。Dedekind）、康託（G。Cantor）等人加以完成了。

1872年，是近代數學史上最值得紀念的一年。這一年，克萊因（F。Kline）提出了著名的“埃爾朗根綱領”（Erlanger Programm），魏爾斯特拉斯給出了處處連續但處處不可微函式的著名例子。也正是在這一年，實數的三大派理論：戴德金“分割”理論；康託的“基本序列”理論，以及魏爾斯特拉的“有界單調序列”理論，同時在德國出現了。實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功，使得兩千多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了，古希臘人的算術連續統的設想，也終於在嚴格的科學意義下得以實現。

無理數可數嗎？或者說實數可數嗎？

答案是：NO

康托爾運用對角線法來論證這一點，證明過程很短，卻堪稱精妙絕倫！（媽媽問我為何跪下看書系列）

考慮整個實數集是否可數，我們先考慮0-1之間的所有實數是否可數。假設存在某種規則能夠列出0-1之間的所有實數：

0。

1

598545445……

0。6

5

89745454……

0。59

6

8974132……

0。988

7

946456……

0。3521

5

87487……

0。16598

4

2412……

……

以上的數隨便寫的，此時康托爾問，0。267865……在什麼位置？

這個數是怎麼取的呢？取第一個數的第一位小數加1，取第二個數的第二位小數加1，取第三個數的第三位小數加1，取第四個數的第四位小數加1……，也就是上面數中加粗的數字加1。

假如0。267865……在第n個位置上，則它的第n位小數應該等於第n個數（也就是它自身）的第n位小數加1。

簡單說，這個數的第n位小數等於它本身第n位小數加1。顯然這是不可能存在的！

所以不存在任何一種方法能夠把0-1之間所有的實數全部列舉出來，當然也不可能存在一種方法能夠把全體實力列出來。

像這樣的無窮稱為不可數無窮，不管你承認還是不承認，同樣是無窮，也能分出不同種類。無理數集、實數集稱為不可數集。

在數軸上任取一段線段，由這些連續著的點構成的集合均為不可數集，又稱連續統。基數記為c。既然已經明確了有理數代表著可數無窮，而無理數則代表著不可數無窮，那可數與不可數到底誰更多呢？換句話說，ℵ0與c誰更大呢？

事實上，從機率的角度來看，在數軸上任取一點，取到有理數的機率為0。無理數是無限不迴圈小數，有理數包含整數、有限小數和無限迴圈小數，我們可以把整數和有限小數看成後面的小數位均為0的數，舉個例子，1。8=1。800000……，後面的小數位都是0。

現在我們給一個數填充小數位，有無數個小數位需要我們填充，而填充的數字都是隨機取的，所以說都取0或者說取到一列迴圈數的機率為0。藉助於這樣一個想法，無理數不僅比有理數多，而且多得多！

怎麼樣能夠比無窮還要多？對於集合{1}，它有兩個子集：空集、{1}，子集組成的集合的基數為2^1；對於集合{1，2}，它有四個子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集組成的集合的基數為2^2，以此類推，若一個集合的基礎為n，則其子集構成的冪集基數是2^n。

那如果原集合的基數是ℵ0呢？

事實上，康托爾已經證明出，c=2^ℵ0，這裡的ℵ0是無窮大的，所以能想象c有多大嗎？

康托爾所做的事情不止於此，他還猜想，在ℵ0和c之間不存在其他的無窮，即在ℵ0後的下一個無窮量便是c，即c=ℵ1（ℵ1即ℵ0後一個無窮量），這就是著名的“連續統假說”。1900年世界數學家大會上，希爾伯特把這個問題排在了20世紀23大有待解決的重要數學問題之首。

說簡單點，任何數在實數數域上都是唯一確定的，只不過有理數的小數部分是迴圈的，無理數不迴圈而已。

從無理數和有理數的分佈上看，在數軸上，無理數的個數是不可數的，有理數的個數是可數的，無理數的可數性由黎曼最早證明；這個性質在某種程度上說明了無理數遠遠多於有理數，如果我們在數軸上隨機選取一點，那麼這點對應的數幾乎肯定是無理數。

結語

由於第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。

老王頭兒2020-03-11 07:15:09

無理數當然是確定的數。因為它在數軸上有自己確定的位置。數軸上的每一個點都表示一個確定的實數，包括無理數在內，每一個實數都可以用數軸上一個確定的點來表示。至於為什麼是無限小數，只是一個表達方式的問題。這和無理數的定義有關。請深入地瞭解一下無公度線段，就可以知道它為什麼是無限小數了。把正方形的一條邊作為單位長度，用以度量該正方形對角線的長度，這個度量過程永遠不會結束，於是就有了無限不迴圈小數。正方形的邊和對角線就是無公度線段。

嶽風輕雲淡2020-06-11 17:05:16

如杲把這個無理數定為“1，其他的就變為整數了。是因為我們確定度量單位時造成的。

極速辰星dz2020-03-11 15:27:22

什麼是確定的數？自然數是確定的數嗎？一個雞蛋的叫法是不是為了方便我們交流？每一個雞蛋的原子分子是不是一樣的？一個夸克是不是最終確定不可分割的度量單位？

枝枝葉葉2020-03-10 02:46:58

當然確定的數，比如2的平方根，直角等腰三角形直角邊長是一，那斜邊就是2的平方根，斜邊長度當然是確定的，但是用小數無法精確表示