使用者9391910497182021-06-24 19:03:57

設擺長為l，擺線與豎直方向的夾角為θ，那麼單擺的運動公式為：d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0 令ω=dθ/dt，上式改寫成：ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 ω²=2g/l*cosθ+c 給定初始條件θ=α（0≤α≤π），ω=0，則其特解為：ω²=2g/l*（cosθ-cosα）=4g/l*（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）） 所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l）*∫［0，θ］dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）） 做變換sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ，則 t=√（l/g）*∫［0，φ］dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g）*F（φ，sin（α/2）） 以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式，當單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時，θ=α，此時φ=π/2 那麼T=4t=4√（l/g）*F（π/2，sin（α/2））=4√（l/g）*K（sin（α/2）），此處的α就是常說的擺角，現在看一下不同的擺角對週期的影響 單擺的近似公式為T=2π√（l/g），精確公式為T=4√（l/g）*K（sin（α/2）），記相對誤差為e（α） 那麼e（α）=（2K（sin（α/2））-π）/（2K（sin（α/2））用Maple計算得到：當10度內，e= sine=l/g e（1）=0。0019% e（2）=0。0076% e（3）=0。0171% e（4）=0。0305% e（5）=0。0476% e（6）=0。0685% e（7）=0。0933% e（8）=0。1218% e（9）=0。1542% e（10）=0。1903% e（11）=0。2303% e（12）=0。2741% e（13）=0。3217% e（14）=0。3730% e（15）=0。4282% e（16）=0。4872% e（17）=0。5500% e（18）=0。6165% e（19）=0。6869% e（20）=0。7611% 實驗室一般取α≤5，所以相對誤差不超過0。05%，總的來說精度還是比較高的。