《數學分析---函式列一致收斂性證明專題總結》

題型

利用餘項準則證明函式列一致收斂

證明

$S_n\left( x \right) =x^n,n=1,2,...,$

在

$\left[ 0,b \right] \left( 0<b<1 \right)$

上一致收斂。

證明函式列

$f_{n}(x)=(1-x) x^{n}, n=1,2, \cdots,$

在

一致收斂。

題型

利用餘項準則證明函式列非一致收斂

證明

$S_n\left( x \right) =x^n,n=1,2,...,$

在

$\left[ 0,1 \right]$

上非一致收斂。

函式列

$g_{n}(x)=\left(1-x^{n}\right) x , n=1,2, \cdots,$

在

上非一致收斂。

證明函式列

$f_{n}(x)=x^{n}-x^{2 n},$

$n=1,2, \cdots$

，在

上非一致收斂

。

設函式列

$f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}, n=1,2, \cdots,$

證明：

在

上收斂；

在

上非一致收斂，但在

$[\alpha, 1](\alpha>0$

上非一致收斂，但在

$[\alpha, 1)$

上一致收斂；

$(3) \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x .$

設函式列

$f_{n}(x)=n\left(x^{n}-x^{2 n}\right), n=1,2, \cdots, x \in[0,1] .$

求函式列

${f_{n}(x)}$

的

極限函式

；（2）證明

$f_{n}(x)$

非一致收斂；（3）驗證

極限運算

與積分運算不能交換順序。

題型 3:含有引數函式列一致收斂

設

$f_{n}(x)=n^{c} x\left(1-x^{2}\right)^{n}, n=1,2, \cdots,$

討論函式列

$f_{n}(x)$

在

上的一致收斂性。

討論函式列

$f_{n}(x)=n^cxe^{-nx},n=1,2,\cdots,x\in[0,1]$

的一致收斂性。

討論函式列在指定區間上的一致

收斂性

：

$f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty) .$

討論函式列在指定區間上的一致收斂性：

$f_{n}(x)=\frac{c^nx}{1+nc^nx^2}(c>0)$

$,n=1,2,\cdots$

$(1)x\in(-\infty,+\infty),(2)x\in(-\infty,)(,+\infty)$

題型 4:已知

連續利用閉區間連續則有界或可積必有界證明{

$g_{n}(f(x))$

}一致收斂

設

在

上連續，

證明： {

${f(x) x^{n}}$

} 在

上

一致收斂

。

設

在

$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$

上連續。證明：收斂的充要條件是

。

設

在

$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

上連續。證明：（2） {

$\sin ^{n} x f(x)$

} 在

$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

上一致收劍的充要條件是

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 .$

若

在

連續，

$f(x)>0, g_{n}(x)=\sqrt[n]{f(x)}, n=1,2, \cdots .$

證明：

$g_{n}(x)$

在

上一致收斂於

設函式

$f_{0}(x)$

在

上可積，且

$f_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t,$

$x \in[a, b], n=1,2, \cdots,$

證明：{

${f_{n}(x)}$

} 在

上一致收劍於

設

$u_{0}(x)$

在

上連續，

在閉

$\mathbb{X}$

域

$[a, b]\times[a, b]$

上連續，對

$\forall x \in[a, b],$

設

$u_{n}(x)=\int_{a}^{x}G(x,y)u_{n-1}(y)dy,n$

，證明：{

${u_{n}(x)}$

} 在

上一致收劍於

題型

已知{

$f_{n}(x)$

}遞推式證明一致收斂

設

$x \leqslant f_{1}(x) \leqslant \sqrt{x}, f_{n}(x)=\sqrt{x f_{n-1}(x)}, x \in[0,1],$

$n=1,2, \cdots .$

證明：

{

$f_{n}(x)$

} 為單調有界數

$(2) {$f_{n}(x)$} 在$

［0，1］$ 上一致收斂。

題型

與

$\ cosx$

有關的函式列一致收斂

求解下列各題。

設

$f_{n}(x)=\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

。

求極限函式

；

$f_{n}(x)$

在

$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

上是否一致收斂？

是否有

$\lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x .$

設

$f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots,$

當

$x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

時，求

$\lim\limits_{n\to \infty}f_{n}(x)$

，並討論

$\{f_{n}(x)\}$

在

$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

上的一致收斂性

利用

連續則一致連續證明函式列一致收斂

設

在

連續，令

$f_{n}(t)=\int_{0}^{T} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x, t \in[0,1],$

$n=1,2, \cdots,$

證明函式列 {

$f_{n}(t)$

} 在

上一致收斂於

函式列為差商形式且極限函式與導數有關

設函式

在

上有連續導數

，令

$f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right) ,x\in(a, b+1) n=1,2,\cdots$

證明：

函式列內閉一致收斂於

，

設

$f \in C^{1}(I)$

，

是有界閉區間，

$F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right] .$

證明：函式列 {

$F_{n}(x)$

} 在

上一致收斂。如果

是

有界開區間

，問 {

$F_{n}(x)$

} 在

上是否一致收斂？

設函數

在

$(-\infty,+\infty)$

上有連續導函式

$f^{\prime}(x),$

且

$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right) n=1,2, \cdots$

。證明：函式列 {

$f_{n}(x)$

}在任一有限區間區間

內一致收斂於

。

設函式

在

上有連續導函式，定義

$F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$

，

$n=1,2, \cdots$

。證明：函式列 {

$f_{n}(x)$

}在

處處收斂且內閉一致收斂。

設函式

在

上連續，記

$f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$

。。證明：函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在

上一致收斂於

。

設函數

在

$(-\infty,+\infty)$

上連續，定義

$f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$

$n=1,2 \cdots .$

證明：函式列 {

$f_{n}(x)$

}在任何閉區間

一致收斂於

。

分段函式非一致收斂的證明

設

$f_{n}(x)=1-nx,0$

證明函式列在

上非一致收斂，但

$\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x .$

利用函式列一致收斂

收斂準則證明覆合函式列一致收斂

設

在

連續，

$f_{n}(t)=\int_{0}^{t} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x, t \in[0,1],$

$n=1,2, \cdots,$

證明函式列 {

$f_{n}(t)$

} 在

一致收斂於

設函式

在閉區域

$[a, A] \times[b, B]$

上連續，函式列 {

${\varphi_{n}(x)}$

} 在

上一致收劍，且

$b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B .$

證明：函式列

$F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots,$

在

上一致收斂。

設函式

在閉區域

$[a, b] \times[c, d]$

上連續，函式列 {

$\varphi_{n}(x)$

} 在［a， b］上一致收劍，且

$a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b,$

函數列 {

$\psi_{n}(x)$

} 在

上一致收斂，且

$c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d .$

證明：函數列

$F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots,$

在

上一致收劍。

設函數

在閉

$\mathbb{X}$

域

$\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$

上連續，函數列 {

$\varphi_{n}(x)$

} 在

$\left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$

上一致收劍

$\varphi(x),$

且

$y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b .$

證明：

$\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .$

已知函式列一致收斂且每一項一致收斂證明極限函式一致連續

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收籤於

。證明：若每個

$f_{n}(x)$

在

上一致連續，則

在

上一致連續。

設

函式項級數

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

上一致收籤於

如果每個

$u_{n}(x)$

在

上一致連續，證明

在

上一致連續。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上連續，在

上一致收劍於

。證明：

在

上一致連續。

設

$u_{n}(x)$

在

上連續，

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

上一致收籤於

。證明：

$(1) \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

收劍；

$(2) \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

連續；

$(3)f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

上一致連續。

設

$f_{n}(x), n=1,2, \cdots,$

為

$\mathbf{R}$

上的一致連續函式，且

$\lim\limits_{n \to \infty}f_{n}(x)=f(x),$

$\forall x \in \mathbf{R}^{1},$

問：

是否為連續函式？若答案為“是”，請給出證明；若答案為“否”，請給出反例。

等度連續

設函式列{

$f_{n}(x)$

}在區間

上連續， {

$f_{n}(x)$

} 在

上一致收劍於

。證明： {

$f_{n}(x)$

} 在

上等度連續（即

$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0,$

當

$\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b],$

$|x^{\prime}-x^{\prime \prime}|<\delta$

時，對任意

自然數

有

$|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime})|<\varepsilon\right.$

利用反證法證明

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收劍於

，且每個函式連續，假定每個

$f_{n}(x)$

在

上不處處為負。證明

在

上不處處為負。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收劍於

，且每個函式連續，若每個

$f_{n}(x)$

在

上均有零點。證明

在

上至少有一個零點。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收劍於

，且每個函式連續，若

$\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x \geqslant 0 n=1,2, \cdots,$

證明至少存在一點

$x_{0} \in[a, b]$

使得

$f\left(x_{0}\right) \geqslant 0$

。

與零點有關的問題

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收劍於

，且每個函式連續，若

在

上無零點，證明：

當

充分大時，

$f_{n}(x)$

在

也無零點。

證明： {

${\frac{1}{f_{n}(x)}}$

} 在

一致收斂於

$\frac{1}{f(x)}$

。

{

$x_{n}$

}與函式列複合得到新函式列證明

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收劍於

，且每個函式連續， {

$x_{n}$

}

$\subset[a, b]$

且

$\lim\limits_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$

。證明：

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$

。

（2）設{

$S_{n}(x)$

}是函式項級數

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$

的前

項部分和函式列，每個

$S_{n}(x)$

在

上連續，且。

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$

在

上一致收劍於

。又 {

$x_{n}$

}

$\subset[a, b]$

且

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0} .$

證明：

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\left(x_{n}\right)=S\left(x_{0}\right) .$

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上一致收劍於

，且每個函式連續，若存在

$x_{n} \in[a, b]$

有

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=A$

。證明：存在

$x_{0} \in[a, b]$

使

$f\left(x_{0}\right)=A .$

已知函式列{

$f_{n}(x)$

}一致收斂且函式列極限是數列{

$a_{n}$

}證明數列{

$a_{n}$

}收斂

設連續函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在

$U\left(x_{0}, \delta\right)(\delta>0)$

內一致收斂，且

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{n}} f_{n}(x)=a_{n}, n \in \mathbf{N} .$

證明 {

$a_{n}$

}收斂。（

南開大學

2002）

利用反證法證明函式列在閉區間端點發散導致閉區間非一致收斂

設

$f_{n}(x)$

在

上連續，且 {

$f_{n}(b)$

} 發散。證明： {

$f_{n}(x)$

} 在

上非一致收斂。

設

$u_{n}(x)$

在

連續，且

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

發散。證明

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

非一致收斂。

設 {

$S_{n}(x)$

} 在

上左連續，且 {

$S_{n}(c)$

} 發散。證明：在任何開區間

$(c-\delta, c)(\delta>0)$

內 {

$S_{n}(x)$

} 非一致收斂。

設每個

$u_{n}(x)$

在

連續，但

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

發散，則

$\forall \delta>0, \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

$(c, c+\delta)$

上均非一致收斂。討論

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\sin x+\cos x)^{n}}$

在

$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

內是否一致收斂。

設

$u_{n}(x)$

在

上連續，

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

上收斂，根據

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$

的斂散性，討論

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

上的一致斂散性。

設

$h_{n}(x)$

在

連續，且

$f_{n}(x) \leqslant h_{n}(x) \leqslant g_{n}(x), \forall x \in[a, b) .$

若級數

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$

和

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} g_{n}(x)$

在

上收斂，級數

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} h_{n}(a)$

發散，證明：

級數

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} h_{n}(x)$

在

上收斂；

級數

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} h_{n}(x)$

在

上非一致收斂。

設

$u_{n}(x)$

在

上連續，

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$

在

上一致收斂，證明：

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(a), \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$

收斂。

已知函式列一致收斂且每個函式列有界證明極限函式有界和函式列一致有界

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在

上一致收斂於

，且。每個

$f_{n}(x)$

在

有界。證明：回極限函式

在

有界；（2）函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在

一致有界，且

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup\limits_{a \in x<b} f_{n}(x)=\sup\limits_{a<x<b} f(x)$

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在區間

上連續，且一致收斂於

，若

$\forall x \in[a, b], f(x)>0 .$

證明：

$\exists N, \delta>0,$

使得

$\forall x \in[a, b], n>N$

時有

$f_{n}(x)>\delta$

。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 在

上一致收斂於

，且存在數列 {

${a_{n}}$

}使得

$\forall x \in I,$

總有

$|f_{n}(x)| \leqslant a_{n}$

證明：

在

上有界。

複合函式一致收斂

設

$f_{n}(x),n=1,2, \cdots,$

在

上連續，且{

$f_{n}(x)$

} 在

上一致收斂於

，證明：

$\exists M>0,$

使得

$\forall n \geqslant 1, \forall x \in[a, b]$

有

$|f_{n}(x)| \leqslant M,|f(x)| \leqslant M$

；

若

在

$(-\infty,+\infty)$

內連續，則

$g\left(f_{n}(x)\right)$

在

上一致收斂於

。

設

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$

的收斂半徑為

$R=+\infty,$

令

$f_{n}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k},$

證明： {

${f(f_{n}(x))}$

}在

上一致收斂於

，其中

為任一有窮閉區間。

設

在區間

上一致連續，函式列 {

$g_{n}(x)$

} 在 I 上一致收斂於 g（x），當

$x \in I$

時，

$g(x) \in J$

，且存在正整數

，使得

及

$x \in I$

時

$g_{n}(x) \in J$

，證明 {

$f(g_{n}(x))$

} 在

上一致收斂於

。

已知兩個函式列分別一致收斂且極限函式有界證明函式列之積一致收斂

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 與 {

$g_{n}(x)$

} 在區間

上分別一致收斂於

，

。假定

與

都在

上有界，證明：

{

$f_{n}(x) g_{n}(x)$

} 在區間

上一致收斂於

如果 {

} 與 {

} 在區間 I 上分別收斂於

與

，能否保證必有

} 在區間

上一致收斂於 f（

，請說明理由。

舉例說明：對

中的結論，“

與

在

上有界”條件不可去。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 與 {

$g_{n}(x)$

} 在

$(-\infty,+\infty)$

上有界連續，且分別一致收斂於

與

證明： {

$f_{n}(x) g_{n}(x)$

} 在

$(-\infty,+\infty)$

上一致收斂於

。如果 {

$f_{n}(x)$

}，{

$g_{n}(x)$

} 在

$(-\infty,+\infty)$

上不是有界函式列，舉例說明上述結論不一定成立。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 與 {

$g_{n}(x)$

} 在區間

上分別一致收斂於

與

，假定存在正數 {

$M_{n}$

} 使

$|f_{n}(x)| \leqslant M_{n},|g_{n}(x)| \leqslant M_{n}$

，

$x \in[a, b], n=1,2,3, \cdots,$

證明： {

$f_{n}(x)g_{n}(x)$

} 在區間

上一致收斂於

。

設函式列 {

$f_{n}(x)$

} 與 {

$g_{n}(x)$

} 在區間

上分別一致收斂於

與

。證明：函式列

$\max$

{

$f_{n}(x), g_{n}(x)$

} 在區間

上一致收斂於

$\max$

{

}。

與反常積分結合

設

$f_{n}(x), n=1,2, \cdots$

，在

$[a,+\infty)$

上連續，且反常積分

$\int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$

關於

一致收籤。又對任意

，{

$f_{n}(x)$

}在

上一致收斂於

，證明：

$(1)\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$

收斂

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .$

與二重積分結合

設連續函式序列 {

$f_{n}(x, y)$

} 在有界閉區域

上一致收劍於

，證明：

$\iint_{D} f(x, y)\mathrm{d} x \mathrm{d} y=\lim\limits_{n \to \infty}\iint_{D}f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$

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