huiya1 2007-05-19

一、人物介紹：莫比烏斯

莫比烏斯（August FerdiUs MbiUs，1790－1868年）是德國數學家、天文學家。1790年11月17日生於德國瑙姆堡附近的舒爾普福塔。1908年入萊比錫大學學習法律，後轉攻數學、物理和天文。1814年獲博士學位，1816年任副教授，1829年當選為柏林科學院通訊院士，1844年任萊比錫大學天文與高等力學教授。1868年9月26日卒於萊比錫。

莫比烏斯的科學貢獻涉及天文和數學兩大領域。在數學方面，首先是他對19世紀射影幾何學的影響。莫比烏斯發展了射影幾何學的代數方法。他在《重心計算》（1827年）一書中，創立了代數射影幾何的基本概念————齊次座標。在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關係，並對交比概念給出了完善的處理。莫比烏斯帶（1858年）。他較早對拓撲學作深入的探討並給出恰當的提法。此外，莫比烏斯對球面三角等其它數學分支也有重要貢獻。

JIANIZHU 2007-05-05

公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。

因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！

我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。

拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，如同上頁圖那樣粘成一個莫比烏斯帶。現在像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想象出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得瞭解決！

比如在普通空間無法實現的“手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎麼扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那麼解決起來就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有著極大的不同。

下圖畫的是一隻“扁平的貓”，規定這隻貓只能在紙面上緊貼著紙行走。現在這隻貓的頭朝右。讀者不難想象，只要這隻貓緊貼著紙面，那麼無論它怎麼走動，它的頭只能朝右。所以我們可以把這隻貓稱為“右側扁平貓”。

“右側扁平貓”之所以頭始終朝右，是因為它不能離開紙面。

現在讓我們再看一看，在單側的莫比烏斯帶上，扁平貓的遭遇究竟如何呢？右圖畫了一隻“左側扁平貓”，它緊貼著莫比烏斯帶，走呀走，走呀走，最後竟走成一隻“右側扁平貓”！

扁平貓的故事告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體是可以透過扭曲時實現轉換的！讓我們展開想象的翅膀，設想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現出莫比烏斯帶式的彎曲。那麼，有朝一日，我們的星際宇航員會帶著左胸腔的心臟出發，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，莫比烏斯帶是多麼的神奇！想必讀者已經注意到，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家克萊茵（Klein，1849～1925），終於找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，稱為“克萊茵瓶”（左圖）。這種怪瓶實際上可以看作是由一對莫比烏斯帶，沿邊界粘合而成。因而克萊茵瓶比莫比烏斯帶更具一般性。