1、回顧傅立葉變換的基本理論

傅立葉變換主要是在幹嘛

透過傅立葉變換，可以將時域訊號分解一系列不同頻率下的正弦/餘弦訊號，如下圖所示：

圖上所示：時域內接近於方波的訊號，透過傅立葉變換後得到的是一系列頻率不同，幅值也不大一致的正弦/餘弦訊號；可以理解為，任意一個時域訊號都可以分解為不同頻率下的正弦訊號，透過傅立葉變換，可以得到他們的頻率成分。

時域圖：橫軸是時間，縱軸是訊號值

頻譜圖：橫軸是頻率，縱軸是該頻率成分訊號的幅值。

將訊號分解為正弦訊號、餘弦訊號有以下好處：

1、正弦訊號往往比原始訊號簡單，更容易研究，且已經充分研究

2、對於線性系統，輸入正弦訊號，輸入仍是正弦訊號，只是幅值和相位會發生變化，但是頻率不會發生變化，這一點很具有工程價值。

3、在頻域上，可以分析到很多在時域圖無法分析到的結果。

傅立葉變換的週期性

連續傅立葉變換（FS）：時域非週期連續訊號——頻域非週期連續頻譜

連續傅立葉級數（FT）：時域週期連續訊號——頻域非週期離散頻譜

離散傅立葉變換（DTFT）：時域非週期離散訊號——頻率週期連續頻譜

離散傅立葉級數（DFS）：時域週期離散訊號——頻域週期離散頻譜

由於計算機只能處理離散的資料序列，要求時域和頻域序列都要是離散的，上圖中的四種變換，只有離散傅立葉級數DFS時域和頻域都是離散的，但是又因為DFS處理的均為無窮長的週期序列，也不適合計算機進行處理。不過對DFS進行改造，就能夠得到適合計算機處理的離散傅立葉變換DFT。

DFS--DFT

透過一系列推導。。。。。

DFT--FFT

按照訊號課本里的說法，一個長度為N的序列，用DFT去算，需要進行N*N次運算才可以計算出結果，如果資料量大，處理器光進行DFT計算就需要很多時間，實際應用起來很困難。

因此，又在DFT上面發展出了一種快速演算法FFT， 計算次數可以大大降低，長度為N的序列，FFT運算只要（N/2）log2（N） 次。

FFT只是加快了運算，並不是新的訊號理論。

2、在MATLAB裡進行fft（DFT）計算

MATLAB裡面提供了fft函式來進行DFT變換的數值計算。

clear

；

clc

；

close

all

x

=［

1。33

，

4。2

，

0。09

，

-

5。43

，

1。06

，

13。11

，

14。8

，

-

6。02

，

1。8

，

5。1

］；

% 離散時間序列 x

N

=

length

（

x

）；

% 計算訊號長度

n

=

0

：

N

-

1

；

% 序號

X

=

fft

（

x

）；

% 計算出來的fft是個複數

%% 繪製頻域序列 X 的實部和虛部， 觀察頻域序列 X 的對稱性

figure

subplot

（

2

，

1

，

1

）

stem

（

n

，

real

（

X

））

；

% 繪製實部

grid

on

xlabel

（

‘序號n’

）

；

ylabel

（

‘X 實部’

）

；

subplot

（

2

，

1

，

2

）

stem

（

n

，

imag

（

X

））

% 繪製虛部

grid

on

xlabel

（

‘序號n’

）

；

ylabel

（

‘X 虛部’

）

；

繪製出來的結果如下：

從圖中可以觀察出DFT結果的兩個重要特點：

1、X（0）和X（N/2） 的虛部為零，即結果是個實數。

2、X以N/2為中心，實部偶對稱，虛部奇對稱，即X以N/2為中心，互相共軛。

還是以上述序列為例，資料經過fft計算後，得到的是複數序列，從複數序列我們可以得到幅值和相位角。

%% 幅值和相位角

A=abs（X）； %計算幅值

Pha=angle（X）； %計算相位角 rad

figure

figure

subplot（2，1，1）

stem（n，A） % 繪製頻域序列 X 的幅值

grid on

xlabel（‘序號 n’）

ylabel（‘X 幅值’）

subplot（2，1，2）

stem（n，Pha） % 繪製頻域序列 X 的相角

grid on

xlabel（‘序號 Seq’）

ylabel（‘X 相角’）

幅值和相角同樣存在著對稱性。

3、頻率刻度計算

上面畫出來的圖，橫座標不是頻率，還不算頻譜圖，需要將橫座標轉換為頻率。

假設上述例子中，十個點都是均勻取樣的，取樣時間間隔是Ts=0。01s，則取樣頻率是100hz，

序列的長度是N=10，則取樣頻率間隔是10hz，頻率範圍是［-50，50］hz， 考慮到負頻率只有統計意義沒有物理意義，捨棄負頻率。

又由於正頻率部分與負頻率部分具有對稱性，故將正負頻率成對合並起來，重新按照正的頻率範圍來繪圖。

Ts

=

0。01

；

Fs

=

1

/

Ts

；

%頻率

df

=

Fs

/

N

；

%頻率間隔

f

=（

0

：

1

：

N

/

2

）

*

df

；

% 頻率刻度

Y

=

X

（

1

：

N

/

2

+

1

）；

% 提取正頻率的部分

Y

（

2

：

end

-

1

）=

2

*

Y

（

2

：

end

-

1

）；

% 負頻率合併到正頻

A

=

abs

（

Y

）；

% 計算頻域序列Y的幅值

Pha

=

angle

（

Y

）；

% 計算頻域序列Y的相角 弧度

figure

subplot

（

2

，

1

，

1

）

stem

（

f

，

A

）

% 繪製頻域序列Y的幅頻圖

grid

on

xlabel

（

‘頻率 ［Hz］’

）

ylabel

（

‘幅值’

）

subplot

（

2

，

1

，

2

）

stem

（

f

，

Pha

）

% 繪製頻域序列Y的相頻圖

grid

on

xlabel

（

‘頻率 ［Hz］’

）

ylabel

（

‘相角’

）