學習階段：大學數學。

前置知識：多元微積分，弧長公式

l=\alpha r

，扇形面積公式

S=\frac12 \alpha r^2

。

1。 二重積分

二重積分記作

\iint_D f(x,y)d\sigma

。

二重積分的區域

D

是二維的，可以用

直角座標系

和

極座標系

來表達。

1。1 二維座標系的座標關係

直角座標系和極座標系的座標關係，最關鍵的就只有這一幅圖：

多元微積分——直觀理解重積分割槽域的座標系變換

直角座標系和極座標系的座標關係

顯然有

\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ \end{cases}

。

1。2 二維座標系的面積微元

面積微元就是積分式中的

d\sigma

，它在不同座標系下表達方式不同。

多元微積分——直觀理解重積分割槽域的座標系變換

直角座標系和極座標系的面積微元

如圖所示，

d\sigma

是橙色區域。注意，這兩個座標系下的

d\sigma

是不直接相等的，但是並不影響最終二重積分的值。

直角座標系很簡單，

d\sigma

是個矩形，有

d\sigma=dxdy

。

極座標系的

d\sigma

是個扇形，我們可以將它也近似為矩形，有

d\sigma=\rho d\theta \times d\rho=\rho d\rho d\theta

。

【當然，可以嚴格求扇形面積以證明之：

d\sigma=\frac 12 d\theta (\rho+d\rho)^2-\frac12d\theta\rho^2=\rho d\rho d\theta+\frac12 d\theta d\rho^2

略去最後的高階無窮小即可。】

由此，可以得到二重積分的計算式：

直角座標系下為

\iint_D f(x,y)dxdy

。

極座標系下為

\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta

。

2。 三重積分

三重積分記作

\iiint_\Omega f(x,y,z)dV

。

三重積分的區域

\Omega

是三維的，可以用

直角座標系

、

柱座標系

和

球座標系

來表達。

2。1 三維座標系的座標關係

有了二維座標系的基礎，直角座標和柱座標系的座標關係是很清楚的。

多元微積分——直觀理解重積分割槽域的座標系變換

直角座標系與柱座標系的座標關係

有

\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z\\ \end{cases}

。

直角座標和球座標系的座標關係其實也不復雜。

多元微積分——直觀理解重積分割槽域的座標系變換

直角座標系與球座標系的座標關係

這裡

\theta

為經度角，

\varphi

與緯度角互餘（我也不知道為啥習慣這樣），有

\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\\ \end{cases}

。

2。2 三維座標系的體積微元

體積微元

dV

在直角座標系和柱座標系的形式很簡單，即一個以

d\sigma

為底面積，以

dz

為高的柱體，即

dxdydz

和

\rho d\rho d\theta dz

。 （懶得畫圖。。。）

我們著重看一下球座標的

dV

。

多元微積分——直觀理解重積分割槽域的座標系變換

球座標系的體積微元

這裡我們不加證明地把

dV

近似為長方體，有

dV=r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta

。

由此，可以得到三重積分的計算式：

直角座標系下為

\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz

。

柱座標系下為

\iiint_\Omega f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z) \rho d\rho d\theta dz

。

球座標系下為

\iiint_\Omega f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta

。

3。 積分割槽域變換座標系

首先，你得先畫出積分割槽域。然後使用

掃描線法

，例子可以看以下連結：