這個證明對嗎？藍綠黑紅2021-11-16 09:58:22

這不是先確定鄰域再證明連續，而是對每一個epsilon都構造了一個滿足函式差值小於2 epsilon的領域，所以這個證明還缺乏一個這一系列鄰域的交集並不只是x_0。

這個證明對嗎？Takatomon2021-11-16 16:11:56

首先結論本身就是錯誤的。反例也比較好舉：

比如令

f(x)=\begin{cases} e^x, &x \in \mathbb{Q},\\ e^{2x}, &x \in \mathbb{Q}^{\mathrm{C}}, \end{cases}

函式

f(x)

在

x=0

處顯然是連續的，並且

f(0)=1\neq 0.

但是

f(x)

在

x=0

的任意鄰域均不連續。

回過頭來我們重新看看連續的定義：

設函式

y=f(x)

在點

x_0

的某一鄰域內有定義，如果

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0,

當

|x-x_{0}|< \delta

時，有

|f(x)-f(x_0)|<\epsilon.

那麼就稱函式

y=f(x)

在點

x_0

連續。

對於本題的證明，只要證得函式

y=f(x)

在點

x

或點

x^{\prime}

連續，便能由

x

或

x^{\prime}

的任意性說明

f(x)

在

x_0

的某一鄰域內連續。

不妨先認定

x

是一個固定的常數，考慮該證明是否能得到函式

y=f(x)

在點

x

連續。

若

\epsilon_1=\frac{\epsilon}{2},\exists \delta_{1}\in(0, |x_0-x|),

此時

x\not\in \cup (x_{0},\delta_{1}),

這時

\forall x^{\prime} \in \cup (x_{0},\delta_{1}),

|f(x)-f(x^{\prime})|\leqslant \epsilon_1+\epsilon.

若

\epsilon_{2} = \frac{\epsilon_{1}}{2},\exists \delta_{2}\in(0, \delta_{1}),

此時

x\not\in \cup (x_{0},\delta_{2}),

這時

\forall x^{\prime} \in \cup (x_{0},\delta_{2}),

|f(x)-f(x^{\prime})|\leqslant \epsilon_2+\epsilon.

依次類推，令

\epsilon_{k}=\frac{\epsilon_{k-1}}{2},\exists \delta_{k}\in(0, \delta_{k-1}),

此時

x\not\in \cup (x_{0},\delta_{k}),

這時

\forall x^{\prime} \in \cup (x_{0},\delta_{k}),

|f(x)-f(x^{\prime})|\leqslant \epsilon_{k}+\epsilon.

k

充分大時，

\epsilon_{k}\approx 0,

然而我們只能得知

|f(x)-f(x^{\prime})|\leqslant \epsilon+\epsilon_{k}.

而如果函式

y=f(x)

在點

x

連續，我們理應有

|f(x)-f(x^{\prime})|\leqslant a \epsilon_{k}\ll\epsilon. (a >0 為固定常數)

因此我們無法斷定函式

y=f(x)

在點

x

連續。

認定

x^{\prime}

是一個固定的常數也是類似的。因此這個證明方法是不正確的。

可以發現在固定

x

時，若

\forall x^{\prime} \in \cup (x_{0},\delta_{k})\subset \cup (x_{0},\delta_{1}),

此時

|x-x^{\prime}|\geqslant \min\{|x-x_{0}-\delta|, |x_{0}-\delta-x|\}.

因此

\forall y

滿足

|x-y|<\min\{|x-x_{0}-\delta|, |x_{0}-\delta-x|\},

只能得知

|f(x)-f(y)|\leqslant 2\epsilon.

從這個角度看這個證明方法也是不正確的。

這個倒是對的： 如果函式

f(x)

滿足

\exists \delta > 0,\forall \epsilon > 0,

當

|x-x_0|<\delta

時， 都有

|f(x)-f(x_0)|< \epsilon.

那麼

f(x)

在

x_0

的某一鄰域內連續，此時

f(x)\equiv f(x_0)

在該鄰域內恆成立。

這個證明對嗎？Bill Gets2021-11-16 19:04:47

反例，狄利克雷函式，啊不，應該是黎曼函式

這個證明對嗎？喜喜生威2021-11-16 20:36:52

這個證明相當於是用連續推出一致連續

這個證明對嗎？落雪無聲2021-11-17 08:28:58

證明不對。

對於原題而言，這個證明既不充分也不必要