上週六的時候，一個剛上大一的學妹問我一道題，求極限的：

\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + ... + \sqrt n}{\sqrt{1^2+2^2+...+n^2}}}

當時我忙著寫無線網路的實驗，匆匆看了兩眼，看分子，自然地想到夾逼，將最左和最右代入應該能得到其解，也沒驗算，就直接回復了。

後來忙完了，又想到這道題，拿來算了一下，發現我大E了：這道題單純地夾逼是逼不出來的。

我們如果將1和n分別代入分子，得出原式

I

的值的範圍

(\frac{n}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}},\frac{n\sqrt{n}}{\sqrt\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}})

。可以預見的，右邊可以求極限，但左邊顯然不能。

又想到大一講的常見的把

n^2

用

(n-1)(n+1),n(n+1)

去換，也不行，原因是分母是求和的形式。而這樣變換的想法是求差。

結果學妹竟主動發來一個思路，

Stolz

定理。我一看不能露怯啊，趕緊Google了一下，發現它就是處理極限中

\frac{\infty}{\infty}

的情形，這裡正合適。這一塊我放在後面介紹。這裡先將我的想法。

後來就到了今天早上大資料摸魚的時候，突然就想到：如果說是stolz定理處理的話是處理極限的，很自然的想到連續函式的

洛必達法則

。如果我用

積分

去求解呢？別說，雖然很久沒做數學腦子鈍得不行，但這條路竟然比想象順暢得多：

\begin{aligned} I &= \frac{ \lim_{n\to \infty } (\frac{1}{n} \cdot \sum_i \sqrt{ \frac{i}{n} })}{\sqrt{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\cdot\sum_i (\frac{i}{n})^2 }} \cdot\frac{n\sqrt n}{x\sqrt n} \\ &=\frac{\int_0^1 \sqrt t \ dt}{\int_0^1t^2 \ dt} \\ &=\frac{2}{3}\sqrt 3 \end{aligned}

說實話，這麼一道題其實不難，思路也很清晰，為什麼把它記錄下來呢，主要就是很久不做數學了，腦子很遲鈍，並且一直都咕咕咕。而且考慮到知乎也沒什麼人關注……

回到正題，那麼什麼是stolz定理呢？

Bn>0

遞增且有n→+∞時Bn→+∞（以下lim均表示lim（n→+∞）） 則有： 若lim（A（n+1）-An）/（B（n+1）-Bn）=L（L可以是0，有限數，或+∞（-∞））==>lim（An）/（Bn）=L

簡單來說就是：

（1）分母無上界。（為什麼不考慮分子，因為只考慮普通方法求不出的情況）

（2）對應的一個式子可以求極限，極限存在。

（3）把式子變變形：

\frac{A_{n+1}-A_n}{B_{n+1}-B_n} = \frac{ \frac{A_{n+1}-A_n}{(n+1)-n} } {\frac{ B_{n+1}-B_n }{(n+1)-n}}

，不難看出就是一個

離散情況下的洛必達法則

而已。

那我們就有下面的解法：

我們記分子分母分別為

A_n,B_n

，

B_n

顯然滿足上述條件。則我們有

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{ A_{n+1}-A_n }{ B_{n+1}-B_n } &= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n+1}}{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n+1} i^2 }-\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}i^2 } } \\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)\cdot (\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1} i^2 }+\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}i^2 })}{ (\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1} i^2 }-\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}i^2 }) \cdot(\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1} i^2 }+\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}i^2 })} \\ &... \\ &=\lim_{n \to \infty }\sqrt 6 \cdot( \sqrt{\frac{(n+2)(2n+3)}{(n+1)^2}} + \sqrt{\frac{n(2n+1)}{(n+1)^2}}) \\ &= \frac{2}{3}\sqrt 3 \end{aligned}

最後可能補充一下stolz定理的證明之類的，看有空吧。

以上。

（這其實是一道比較基礎的題目，主要就是想有個能夠一直堅持下去的事情罷了。然後，多做點題目，多思考總歸是好事情。以後，還會更新一些別的想法什麼的，主要還是自己的一個宣洩的渠道吧，也沒多少人關注，只是希望以後回頭看的時候有點不一樣的感覺吧。）