貝爾定理(Bell's theorem)

，以及與所謂

定域隱變數理論(local hidden-variable theory)

有關的

貝爾不等式(Bell's inequality)

是量子力學基礎中最重要的結論之一。其論證過程，把關於區域性隱變數理論的一些

基本哲學論述

數學化，並結合量子力學基礎，得到了非常重要而深刻的結論。

貝爾定理(Bell's theorem)

［1］

論述瞭如下的事情：

一個滿足定域因果關係的隱變數理論，無法和物理學實驗相容。

本文是我網路課程的講義，適合有一定多重線性代數基礎的同學閱讀。如果不明白這些線性代數，請忽略掉它們，本文對這個物理學定理的“哲學部分”有比較詳細、無過多術語的解釋。

上帝擲骰子嗎？非量子系統的回答

在非量子的情況下，我們假設所有的因果關係都是可以由機率論和經典的函式描述的。如果放在一個具體情況下考慮，我們假設一個世界中有兩個人、一個上帝：

某甲，位於

北京

，擁有大量的粒子

A

，可以做出一個決定

\vec{a}

，用以測量該粒子

A

的旋轉方向是沿著該軸

\vec{a}

順時針還是逆時針。每次測量完畢後，這一粒子被丟棄，只能換下一個粒子繼續測量。

某乙，位於

特拉維夫

，擁有大量的粒子

B

，可以做出一個決定

\vec{b}

，用以測量該粒子

B

的旋轉方向是沿著該軸

\vec{b}

順時針還是逆時針。每次測量完畢後，這一粒子被丟棄，只能換下一個粒子。

上帝，全知全能，不可揣測，而且尊重自由意志。上帝的決定由一個抽象變數

\lambda

描述，這個變數一般認為是隨機的。

某甲、某乙之間不能透過電話、網路等電信技術互相聯絡，只能分別進行實驗、把自己的粒子全部測量完畢，蒐集好資料，一起約定在

莫斯科

見面，然後核對各自的測量結果。

此外，某甲、某乙大量的粒子

A

和

B

都是

編好號碼

的，編號相同的粒子，被認為是同一組。我們假設，編號相同的粒子之間，存在一種神秘而未知的聯絡：

只要某甲和某乙決定沿著同一個座標軸、分別測量

A

和

B

，那麼

A

和

B

的旋轉方向是相反的

。當然，這一發現是他們在

莫斯科

見面後，核對資料的時候發現的。並且我們可以確認，這一現象是真實存在的。

確定性和自由意志

上帝可以

擲骰子

得到一個變數值

\lambda

。並且，上帝能在背後透過一種

神秘而確定

（I）的方式，決定某甲的粒子

A

和某乙的粒子

B

的旋轉方向。這一決定，並不是在某甲或者某乙測量的時候、由上帝作出的。而是預先由上帝擲的骰子，透過

已經存在

的一套“

業報系統

”決定的。這種走向由兩個已經有確定、但是未知表示式的函式

A(\vec{a},\lambda)=\pm 1,\; B(\vec{b},\lambda)=\pm 1

所決定，其中正1代表粒子沿著該軸逆時針旋轉、負1代表沿著該軸順時針旋轉。

然而，這裡出現了一個問題，考慮到上帝是全知全能的，那麼上帝能不能透過自己的這一能力，來對某甲、某乙分別決定的座標軸

\vec{a},\vec{b}

施加影響呢？即這兩個座標軸，是否是

\lambda

的函式：

\vec{a}=\vec{a}(\lambda), \vec{b}=\vec{b}(\lambda)

？

在我們的語境下，我們假設

上帝是尊重自由意志（free will）的

（II），即上帝擲出的

\lambda

不會決定某甲和某乙對座標軸

\vec{a},\vec{b}

的選取。

定域性（locality）和測量結果的相關函式

這兩個函式

A(\vec{a},\lambda), B(\vec{b},\lambda)

還說明了另外一個問題，即

定域性(locality)

（III）。所謂定域性，意思就是某甲、某乙不但可以分別作自己的決定

\vec{a},\vec{b}

，並且他們

本人各自

的決定不會透過“

業報系統

”，影響

對方

測量的結果。這個意思是說，決定某甲測量結果的函式

A(\vec{a},\lambda)

的表示式中，不會含有

\vec{b}

；而決定某乙測量結果的函式

B(\vec{b},\lambda)

的表示式中，不會含有

\vec{a}

。

可是，既然我們“發現“了兩個粒子

A

和

B

沿著同一個座標軸測量的時候，它們的旋轉方向是相反的。這個假設，究竟是否和

定域性(locality)

相矛盾呢？答案是不矛盾，因為這一假設，僅僅能夠說明兩個函式形式滿足

A(\vec{a},\lambda)=-B(\vec{a},\lambda).

這是“業報系統”本身的性質。或者用科學家的話說，是“自然規律”本身的性質。而且，所謂定域性，僅僅是假設，某甲和某乙的各自決定

\vec{a},\vec{b}

，不會給對方的測量結果產生影響。這裡我們並沒有假設粒子

A

和

B

的性質，我們也沒有假設，他們的

測量結果

之間不存在聯絡。這個聯絡是可以有的。

貝爾不等式

綜上所述，我們可以畫出一個上帝、某甲、某乙所做決定的“業報流程圖”：

量子資訊：貝爾定理說明了什麼？(I)

根據我們信仰的“宗教”，上帝也是不可揣測的，所以我們只能透過測量的

結果

來推斷原來粒子的走向。如果我們以此模型來描述我們要思考的問題，粒子走向的

相關性（correlation）函式

可以被認為是

C(\vec{a},\vec{b})=\int _{\lambda}A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)p(\lambda)d\lambda .

其中，

p(\lambda)

是

\lambda

的機率密度函式。同時，由於我們從實驗中“發現“了

A(\vec{a},\lambda)=-B(\vec{a},\lambda)

，從這一規律，經過一些簡單的數學，我們可以發現

C(\vec{a},\vec{b})=C(\vec{b},\vec{a})

。就是說，即使讓甲、乙二人的決定互換，這個相關性函式是不受影響的。

我們可以把這個相關性函式的性質及其來源總結如下：

C(\vec{a},\vec{b})=C(\vec{b},\vec{a})

，可以透過我們“發現”的實驗現象

A(\vec{a},\lambda)=-B(\vec{a},\lambda)

來證明

C(-\vec{a},\vec{b})=-C(\vec{a},\vec{b})=C(\vec{a},-\vec{b})

，因為如果座標軸反向，旋轉方向也會相反（順時針變成逆時針，逆時針變成順時針）。

根據貝爾的數學證明^1，結合上面的相關性函式的性質，如果某乙所做的兩次不同決定被記作

\vec{b}, \vec{c}

。我們可以透過一些簡單的證明，得到

貝爾

在最早的論文中得到結論，就是所謂的

貝爾不等式

：

\left|C(\vec{a},\vec{b})-C(\vec{a},\vec{c})\right|\leq 1+ C(\vec{b},\vec{c}).

這個不等式成立的前提條件，皆是我們剛才提到的諸多哲學上的猜測：上帝的隨機決定以一個確定的方式影響實驗、上帝尊重自由意志、這個實驗遵循的物理規律是

定域

的、並且實驗結果滿足“

只要某甲和某乙決定沿著同一個座標軸、分別測量

A

和

B

，那麼

A

和

B

的旋轉方向是相反的

。”這一事實。

根據簡單的邏輯，如果這個不等式被實驗或者理論推導說明不成立，那麼上述哲學假設至少有一個，是和其它假設以及實驗結果所矛盾的。

貝爾不等式的一個具體結論

［2］

［3］

某甲和某乙在

莫斯科

會面後，達成了共識：他們願意把自己從前無限選擇旋轉軸的權利，限制為在

三個旋轉軸 #FormatImgID_53# 中選一

，然後再進行一次實驗。需要注意，這三個旋轉軸，互相之間成角

\frac{2\pi}{3}

，即120度。他們認為，進行如此限制以後，他們就不需要在無限多種旋轉軸中“瞎貓撞死耗子”了，從而可以更高效地統計資料，並且會有更清晰的結論。

由於某甲和某乙在

莫斯科會議

上，發現了

A(\vec{a},\lambda)=-B(\vec{a},\lambda)

這個事情。他們發現，

如果對編號相同的粒子，各自選取相同的座標軸，那麼他們粒子的旋轉方向永遠都是相反的

。因此，他們決定利用這一事實，來研究函式

A,B

和他們擁有的粒子，到底有什麼性質。

很快，他們就意識到，根據

鴿籠原理

，因為粒子旋轉方向只有順時針、逆時針兩種情況，而座標軸的選法有三種，所以，永遠都會有兩種旋轉軸選法是會得到同樣的旋轉方向的（順時針、逆時針）。儘管從

\vec{x},\vec{y},\vec{z}

中選兩個旋轉軸有三種選法，但因為鴿籠原理，

測出粒子的旋轉方向相同

這個事件，在三種不同的旋轉軸選法之間，未必相互獨立。但是即使它們不互相獨立，統計上來說，這個事情仍然必然會發生。所以，在測量的時候，某甲一定會發現

\mathrm{Pr}(A(\vec{x})=A(\vec{y}))+\mathrm{Pr}(A(\vec{y})=A(\vec{z}))+\mathrm{Pr}(A(\vec{z})=A(\vec{x}))\geq 1

而某乙也會發現

\mathrm{Pr}(B(\vec{x})=B(\vec{y}))+\mathrm{Pr}(B(\vec{y})=B(\vec{z}))+\mathrm{Pr}(B(\vec{z})=B(\vec{x}))\geq 1.

在實驗開始前，他們閱讀了貝爾的論文，意識到這兩個不等式，可以透過貝爾的結論來證明。

（數學預警）

貝爾的相關性函式

C(\vec{a},\vec{b})

可以表示為

C(\vec{a},\vec{b})=\mathbb{E}(A(\vec{a})B(\vec{b}))

而根據期望的定義：

\mathbb{E}(A(\vec{a})B(\vec{b}))=\mathrm{Pr}(A(\vec{a})=B(\vec{b}))-\mathrm{Pr}(A(\vec{a})\neq B(\vec{b}))=1-2\mathrm{Pr}(A(\vec{a})\neq B(\vec{b})).

而根據座標軸相同、旋轉方向相反的性質，

\mathrm{Pr}(A(\vec{a})\neq B(\vec{b}))

又等於

\mathrm{Pr}(A(\vec{a})= A(\vec{b}))

，所以，我們知道

\mathrm{Pr}(A(\vec{a})= A(\vec{b}))=\frac{1-C(\vec{a},\vec{b})}{2}.

而透過相關性函式的諸多性質，我們可以證明根據鴿籠原理推出的、上面的兩個不等式。

量子系統：違反貝爾不等式

後來，在某甲和某乙於莫斯科碰面的時候，他們驚訝的發現，自己根據鴿籠原理或貝爾不等式，推出的機率不等式是不符合觀察實際的，他們實際觀察到的機率大概在1/4左右。這是為什麼呢？

某甲和某乙接受了線性代數的指導，他們意識到，編號相同的粒子

A

和

B

間，是構成一個可以由線性代數中的

張量積(tensor product)

之線性組合，表示的狀態是

|\psi^-\rangle_{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert \circlearrowright\rangle_{A}\otimes\vert \circlearrowleft\rangle_{B}-\vert\circlearrowleft\rangle_{A}\otimes\vert\circlearrowright\rangle_{B}\right)

這個狀態直接導致了，如果測出

B

的旋轉方向向下，那麼

A

則向上，反之同理。

空間操作和酉變換

某甲和某乙又回憶了一下量子力學的知識發現，儘管座標軸的選取在三維空間中有三個自由度，但如果事先在大腦中選定了一個旋轉軸

a\vec{e}1+b\vec{e}_2+c\vec{e}_3

，就可以把單個粒子的全部自旋狀態，表示在一個2維的複數向量空間中：

\vert \phi\rangle=\phi_1\vert \circlearrowleft\rangle+\phi_2\vert \circlearrowright\rangle.

而且神奇的是，全部的空間旋轉操作，都可以寫成這個2維複數向量空間上的

酉矩陣(unitary matrix)

。而且根據量子力學基本的原理，

\vert \circlearrowleft\rangle,\vert \circlearrowright\rangle

分別是

角動量矩陣

\sigma_{a_1,a_2,a_3}=a_1\sigma_x+a_2\sigma_y+a_3\sigma_z=\begin{pmatrix} a_3 & a_1-i a_2 \\ a_1+i a_2 & -a_3 \end{pmatrix}

的

本徵值(eigenvalue)

為+1和-1的

本徵向量(eigenvector)

，請注意

(a_1,a_2,a_3)

是確定座標軸方向

a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2+a_3\vec{e}_3

的三個實數。

而且，甲選定旋轉軸

(a_1,a_2,a_3)

、乙選定旋轉軸

(b_1,b_2,b_3)

的情形下，二人

角動量算符

的乘積

\sigma_{a_1,a_2,a_3}\otimes \sigma_{b_1,b_2,b_3}

的期望值等於旋轉軸之間的角度

{}_{AB}\langle\psi^-\vert(\sigma_{a_1,a_2,a_3}\otimes \sigma_{b_1,b_2,b_3})|\psi^-\rangle_{AB}=-\cos\theta.

這是為什麼呢？

（數學預警）

如果某甲和某乙同時對粒子

A

和

B

做了同樣的空間操作

U\in U(2)

，可以證明

|\psi^-\rangle_{AB}

在該同時操作下不變：

(U\otimes U)|\psi^-\rangle_{AB}=|\psi^-\rangle_{AB}.

因此，任何在單獨粒子上的無窮小酉作用

\sigma\in\mathfrak{u}(2)

，滿足

(\sigma\otimes 1)|\psi^-\rangle_{AB}=-(1\otimes\sigma)|\psi^-\rangle_{AB}.

以上事實，結合直接計算說明，期望值

{}_{AB}\langle\psi^-\vert(\sigma\otimes 1)|\psi^-\rangle_{AB}=-{}_{AB}\langle\psi^-\vert(1\otimes\sigma)\vert\psi^-\rangle_{AB}=0.

並且分別做兩個無窮小旋轉，期望值為

{}_{AB}\langle\psi^-\vert(\sigma_{a_1,a_2,a_3}\otimes \sigma_{b_1,b_2,b_3})|\psi^-\rangle_{AB}=-{}_{AB}\langle\psi^-\vert(\sigma_{a_1,a_2,a_3}\sigma_{b_1,b_2,b_3}\otimes 1)|\psi^-\rangle_{AB}=-\vec{a}\cdot\vec{b}.

因為我們可以選取標定座標軸的向量長度皆為1，上述期望值等於旋轉軸之間的角度

{}_{AB}\langle\psi^-\vert(\sigma_{a_1,a_2,a_3}\otimes \sigma_{b_1,b_2,b_3})|\psi^-\rangle_{AB}=-\cos\theta.

量子情形下的機率和期望值

對於

AB

這個雙粒子系統，假如已經選定了兩個座標軸，一個

純態(pure state)

可以表達為

|\Psi\rangle_{AB}=\Psi_{-1,-1}\vert \circlearrowright\rangle_{A}\otimes\vert \circlearrowright\rangle_{B}+\Psi_{-1,1}\vert \circlearrowright\rangle_{A}\otimes\vert \circlearrowleft\rangle_{B}+\Psi_{1,-1}\vert \circlearrowleft\rangle_{A}\otimes\vert \circlearrowright\rangle_{B}+\Psi_{1,1}\vert \circlearrowleft\rangle_{A}\otimes\vert \circlearrowleft\rangle_{B}.

注意到，投影運算元

P_{\pm,\pm}=\frac{1}{2}(1\pm\sigma_{a_1,a_2,a_3})\otimes \frac{1}{2}(1\pm\sigma_{b_1,b_2,b_3})

把上述向量投射到和選取的符號一致的方向：

P_{\pm,\pm}|\Psi\rangle_{AB}=\Psi_{\pm1,\pm 1}\mid\circ_\pm\rangle_{A}\otimes\vert \circ_\pm\rangle_{B}.

其中，

\circ_-

代表順時針箭頭

\circlearrowright

，

\circ_+

代表逆時針箭頭

\circlearrowleft

。

而根據量子測量理論，因為這個雙粒子系統的四個本徵向量都是互相垂直的，某甲、某乙最終一同測得某旋轉方向的機率為

{}_{AB}\langle \Psi|P_{\pm,\pm}|\Psi\rangle_{AB}=\left|\Psi_{\pm1,\pm 1}\right|^2.

仔細研究這個公式就會發現，實際上最終機率僅僅跟二人測得旋轉方向的異同有關。

量子資訊：貝爾定理說明了什麼？(I)

因此，在量子情形下，我們可以計算得到，

\mathrm{Pr}(A(\vec{a})\neq B(\vec{b}))=\frac{1}{2}(1+\cos\theta).

當二人選擇相同座標軸時，

\theta=0

，因而兩人測量得到的旋轉方向是相反的。但是當二人選擇相差為120度的座標軸時，

\theta=2\pi/3

，於是最終得到的機率為1/4。從而，最初的不等式：

\mathrm{Pr}(A(\vec{x})=A(\vec{y}))+\mathrm{Pr}(A(\vec{y})=A(\vec{z}))+\mathrm{Pr}(A(\vec{z})=A(\vec{x}))\geq 1

和

\mathrm{Pr}(B(\vec{x})=B(\vec{y}))+\mathrm{Pr}(B(\vec{y})=B(\vec{z}))+\mathrm{Pr}(B(\vec{z})=B(\vec{x}))\geq 1.

是不符合甲乙二人的觀察的，左邊的機率之和等於3/4。並不大於1，因而貝爾不等式在實際的量子系統中被違反了。

CHSH不等式：一個更廣泛的情形

［4］

對上帝和實驗的重新建模

［5］

儘管對他們的實驗現象得到了很好的量子解釋，某甲和某乙對於這個實驗仍然非常不滿意，他們認為一定是哪裡出了問題。在莫斯科的咖啡館裡，他們決定向一個路人丙爭取意見，路人丙認為他們觀察到的

如果對編號相同的粒子，各自選取相同的座標軸，那麼他們粒子的旋轉方向永遠都是相反的

這一現象非常令人不適，認為問題可能出在這裡。於是，他們決定修改對此實驗的認識、設計和建模。

在修改實驗之前，他們思考了一下如何對之前的各種假設進行一個更好的建模，並且把觀察到的反常現象隱藏起來。他們意識到，既然

上帝尊重自由意志

，可以認為自己的決定

\vec{a},\vec{b}

是兩個隨機變數，而從得出的觀察結果

A,B

滿足一個以自己的決定為條件的

聯合機率分佈

，同時也把上帝的決定

\lambda

作為一個條件 ：

\mathrm{Pr}(A,B\mid\vec{a},\vec{b},\lambda)

。根據條件機率的

全機率公式(law of total probability)

，

\mathrm{Pr}(A,B\mid\vec{a},\vec{b})=\int_\lambda \mathrm{Pr}(A,B\mid\vec{a},\vec{b},\lambda)p(\lambda)d\lambda

其中

p(\lambda)

是上帝之決定的機率密度函式。

為了在這一理論模型中反映

定域性

：他們各自做出的決定不會影響對方測量的結果。因而，某甲測量結果的

邊際機率

\mathrm{Pr}(A\mid\vec{a},\vec{b},\lambda)

不會含有

\vec{b}

，而某乙測量結果的邊際機率

\mathrm{Pr}(B\mid\vec{a},\vec{b},\lambda)

不會含有

\vec{a}

，而且在相同測量條件下，測出的結果也是

相互獨立的

，因而

\mathrm{Pr}(A,B\mid\vec{a},\vec{b},\lambda)=\mathrm{Pr}(A\mid\vec{a},\lambda)\mathrm{Pr}(B\mid\vec{b},\lambda).

由於某甲在中國受過了

唯物主義教育

，於是某甲提議，從上面的條件機率中把

上帝

\lambda

去除。但是他發現，如果這樣，由於定域性，在僅僅以

\vec{a},\vec{b}

為條件的情形下，

A,B

的測量結果就是相互獨立的了：

\mathrm{Pr}(A,B\mid\vec{a},\vec{b})=\mathrm{Pr}(A\mid\vec{a})\mathrm{Pr}(B\mid\vec{b})

。而這並不符合實驗發現的事實，因為實驗證明，

A,B

的測量結果仍然可以透過

某些內在機制

互相影響，而這種內在機制是未知的。但是抽象地來看，仍然可以認為，有一個

描述了這種內在機制

、而且不受個人決定

\vec{a},\vec{b}

影響的“抽象上帝”

\lambda

存在。而這個

\lambda

是不可揣測的，並且在實驗開始甚至開天闢地時就已存在。這個

\lambda

和其上的機率測度，可能無法具體描述：可以是字串、數字、幾何物件甚至是佛教中深不可測的業報體系。總之，我們仍然允許這個抽象的上帝

\lambda

，透過某些“業報系統”，對測量結果起影響。於是，我們可以重新定義一個相關性函式

C(\vec{a},\vec{b})=\int_\lambda \mathbb{E}(A,B\mid\vec{a},\vec{b},\lambda)p(\lambda)d\lambda.

資料上說，John F。 Clauser， Michael A。 Horne， Abner Shimony和Richard A。 Holt，簡稱CHSH，對該相關函式證明了一個不等式

\left|C(\vec{a_1}, \vec{b_1})-C(\vec{a_1}, \vec{b_2})\right|+\left|C(\vec{a_2}, \vec{b_1})+C(\vec{a_2}, \vec{b_2})\right| \leq 2.

該不等式是對於

x,y\in[-1,1]

的一種特殊的三角形不等式

|x-y|+|x+y| \leq 2

的直接推論。

不等式的違反

某甲和某乙隨後驚訝地發現，該不等式仍然是在量子情形下被違反的。而原因非常簡單，曾經我們計算過，如果某甲和某乙共享的同編號粒子，是狀態

|\psi^-\rangle_{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert \circlearrowright\rangle_{A}\otimes\vert \circlearrowleft\rangle_{B}-\vert\circlearrowleft\rangle_{A}\otimes\vert\circlearrowright\rangle_{B}\right)

的兩個部分，那麼相關性函式的形式為

C(\vec{a}, \vec{b})=-\vec{a}\cdot \vec{b} = -\cos\theta

我們假設這四個向量

\vec{a_1}, \vec{b_1},\vec{a_2}, \vec{b_2}

全都在同一個平面上，而且極座標下，和

x

軸的夾角分別為

\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2

。而令

\left|C(\vec{a_1}, \vec{b_1})-C(\vec{a_1}, \vec{b_2})\right|+\left|C(\vec{a_2}, \vec{b_1})+C(\vec{a_2}, \vec{b_2})\right|

取最大值的其中一個選擇是

(\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2)=(\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4},0,\frac{\pi}{2})

而這個最大值為

2\sqrt{2}>2

，違反了上面證明的CHSH不等式。

最終我們可以發現，倘若我們對於該自旋測量實驗的描述是正確的，貝爾不等式和CHSH不等式均是被違反的。這個論證過程非常巧妙，但是仍然有一系列的問題亟待解決：

這兩種不等式，是否是某種更廣泛、更抽象規律的特殊形式？

是否存在不透過這種不等式來證明貝爾定理的方法？

本文的（II）部分將會著重討論這兩個問題。

參考

^

貝爾原本的證明http：//www。drchinese。com/David/Bell_Compact。pdf

http：//www。drchinese。com/David/Bell_Compact。pdf

^

Stanford Encyclopedia of Philosophy

https：//plato。stanford。edu/entries/bell-theorem/

^

John Preskill的講義

http：//www。theory。caltech。edu/~preskill/ph229/notes/chap4_01。pdf

^

CHSH的論文https：//journals。aps。org/prl/abstract/10。1103/PhysRevLett。23。880

https：//journals。aps。org/prl/abstract/10。1103/PhysRevLett。23。880

^

Sven Etienne 的本科論文［https：//www。math。ru。nl/~landsman/Sven2019。pdf］

https：//www。math。ru。nl/~landsman/Sven2019。pdf