Galois理論初步(1)—

本節的任務是介紹域擴張，有限擴張和代數擴張的概念。

定義1

設

是域，則

是環，從

到

的單的環同態

$\sigma: F\rightarrow K$

稱作

的域擴張（field extension）。若存在域擴張

$\sigma: F\rightarrow K$

，稱域

是域

的一個擴張，記作

。

下文中，當不需要顯式地寫出域擴張

$\sigma:F\rightarrow K$

時，我們採用記號

。

例1

定義

$\mathbb{Q}(\sqrt2):=\{a+b\sqrt2: a,b\in \mathbb Q \}$

，則

$\mathbb Q(\sqrt2)$

中元素按照複數乘法構成一個域。有域擴張

$\mathbb C/\mathbb Q(\sqrt 2)$

，

$\mathbb{Q(\sqrt2) }/\mathbb Q$

以及

$\mathbb C/\mathbb Q$

。

命題1

設

是域，從

到

的非平凡環同態

$\sigma: F\rightarrow K$

是域擴張。

證明：只需證環同態

$\sigma$

是單同態。環同態

$\sigma$

的核是環

的理想，由

是域，從而其理想只有平凡理想

或

。由

$\sigma$

非零，

$\ker \sigma \neq F$

，故

$\ker \sigma=0$

，即

$\sigma$

是單同態，證畢。

下面我們從線性空間的角度簡單研究一下域擴張。

定義2

設有域擴張

，則域

可看作域

上的線性空間，稱域

作為域

上的線性空間的維數為

在

上的次數，記作

$[K:F]= \dim_FK$

。若

在

上的次數是有限的，稱域擴張

為有限擴張。

命題2

設有域擴張

及

，若

以及

是有限擴張，則域擴張

是有限擴張。反之，若域擴張

是有限擴張，

以及

是有限擴張。且

證明：記

，

。取

作為

上的線性空間的一組基

$l_1,l_2\dots l_m \in L$

，對任意的

$l\in L$

，存在

$a_1,a_2\dots a_m\in K$

，使得

$l=\Sigma_{i=1}^m k_il_i$

。

取

作為

上的線性空間的一組基

$k_1,k_2\dots k_n \in K$

，對任意的

$a_i \in K$

，存在

$f_{i1},f_{i2}\dots f_{in}$

，使得

$a_i=\Sigma_{j=1}^n f_{ij}k_j$

。從而對任意的

$l\in L$

，存在

$f_{ij}\in F$

，使得

$l=\Sigma_{j=1}^n f_{ij}l_ik_j$

，故

$l_ik_j \in L$

構成

上線性空間

的生成元集。

令

$\Sigma_{j=1}^n f_{ij}l_ik_j=\Sigma_{i=1}^m(\Sigma_{j=1}^nf_{ij}k_j)l_i=0$

，利用

$k_1,k_2\dots k_n \in K$

與

$l_1,l_2\dots l_m \in L$

是基，可得

$l_ik_j \in L$

在域

上線性無關，從而構成一組基。

且

。

反之，由域擴張

是有限擴張，且

$\dim_K\leq\dim_FL$

以及

$\dim_FK\leq\dim_F L$

，可得

以及

是有限擴張。

下面我們用多項式簡單的研究一下域擴張。

定義3.1

設有域擴張

，稱域

中元素

$\alpha$

是域

上的代數元（algebraic element），若存在域

上的多項式

$f_\alpha(x)=c_0+c_1x+\dots+c_rx^r\in F[x]$

，使得

$f_{\alpha}(\alpha)=c_0+c_1\alpha+\dots+c_r\alpha^r=0 \in K$

。否則稱

$\alpha$

為超越元（transcendental element）。

特別的，對於域擴張

$\mathbb C/\mathbb Q$

，若

$\mathbb C$

中元素

$\alpha$

是

$\mathbb Q$

上代數元，則稱其為代數數（algebraic number），否則稱作超越數（transcendental number）。

例2

$\mathbb Q(\sqrt2)$

中任意元素均是

$\mathbb Q$

上的代數元，而

$\mathbb C$

中元素未必是

$\mathbb Q$

上代數元。

對

$\mathbb Q(\sqrt2)$

中任意元素

$a+b\sqrt 2$

，存在域

$\mathbb Q$

上多項式

使得

$f(a+b\sqrt 2)=0$

。從而

$\mathbb Q(\sqrt2)$

中任意元素

$a+b\sqrt 2$

均為

$\mathbb Q$

上的代數元。

任取

$\mathbb Q$

上代數元

$\alpha\in \mathbb R$

，存在唯一的首一不可約多項式

$f_\alpha (x) \in \mathbb Q[x]$

是

$\alpha$

的最小多項式，則該對應關係定義了代數閉包

$\bar {\mathbb Q}$

到多項式環

$\mathbb Q[x]$

的對映

$\eta$

。對每個多項式

，由代數基本定理，至多有

$\deg f$

個代數元以其為最小多項式，由多項式環

$\mathbb Q[x]$

是可數的，有代數閉包

$\bar {\mathbb Q}$

是可數的，這表明

$\bar {\mathbb Q}$

是

$\mathbb C$

的真子集。

定義3.2

設有域擴張

，域

中元素

$\alpha$

是域

上的代數元，稱域

上多項式

$f(x)\in F[x]$

滿足

$f(\alpha)=0$

的為

$\alpha$

的零化多項式，稱所有

$\alpha$

的零化多項式中次數最小的為

$\alpha$

的最小多項式（minimal polynomial）。

命題3

設有域擴張

，域

中元素

$\alpha$

是域

上的代數元，則

$\alpha$

的零化多項式是多項式環

的理想，從而

$\alpha$

的最小多項式存在且（在相伴意義下）唯一，併為該理想的生成元，進一步，

$\alpha$

的最小多項式是不可約多項式。

證明零化多項式全體是理想與線性代數中的證明類似，留做習題，從而由多項式環是主理想整環，最小多項式存在且（在相伴意義下）唯一。

設存在

上多項式

使得

$f_\alpha(x)=g(x)h(x)$

，則由

$f_\alpha$

是零化多項式，

$g(\alpha)h(\alpha)=0$

，從而不妨設

也是

$\alpha$

的零化多項式，故

$f_\alpha|g$

，又由

$g|f_\alpha$

，有

$f_\alpha$

與

相伴。

定義4.1

設有域擴張

，若域

中的所有元素均為域

上的代數元，則稱域擴張

為代數擴張（algebraic extension）。

例3

例2中我們即證明了域擴張

$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$

是代數擴張。

例4

設有域擴張

，

中所有域

上的代數元的全體稱作域

在

中的代數閉包（algebraic closure），記作

$\bar F$

。則域

代數閉包

$\bar F$

是

的子域，且域擴張

$\bar F/F$

是代數擴張。

為行文方便與篇幅簡短，我們放在下節介紹單擴張後證明。

命題5

設有域擴張

及

，若

以及

是代數擴張，則域擴張

是代數擴張。反之，若域擴張

是代數擴張，

以及

是代數擴張。

證明：

對於第一個命題，我們放在下界節介紹單擴張之後證明。

反之，若域

中元素

$\alpha$

是域

上的代數元，則也是域

上的代數元。若域

中元素

$\alpha$

作為域

中元素是域

上的代數元，域

中元素

$\alpha$

是域

上的代數元。

下面我們簡單聯絡一下兩種觀點。

命題6.1

設有域擴張

，若

是有限擴張，則

是代數擴張。

證明：任取域

中元素

$\alpha$

，則由域擴張是有限擴張，存在自然數

使得

$1,\alpha,\alpha^2 ,...,\alpha^r$

線性相關，即存在

$c_0,c_1,\dots,c_r \in F$

使得

$c_0+c_1\alpha+\dots+c_r\alpha^r=0 \in K$

，令

$f(x)=c_0+c_1x+\dots+c_rx^r \in F[x]$

，則

是

$\alpha$

的零化多項式，故

$\alpha$

是域

上的代數元，域擴張

是代數擴張。

命題6.2

存在不是有限擴張的代數擴張。

證明：只需證明有理數域

$\mathbb Q$

在複數域

$\mathbb C$

中的代數閉包

$\bar{\mathbb Q}$

（即代數數全體）作為有理數域上的線性空間是無限維的，則該代數擴張不是有限擴張。

對任意自然數

，考慮

$\sqrt[n]{2} \in \mathbb R$

，並定義

$\mathbb Q(\sqrt[n]{2})=\{a_0+a_12^{1/n}+...+a_{n-1}2^{n-1/n}：a_i \in \mathbb Q\}$

，則

$\mathbb Q(\sqrt[n]{2})$

按照實數的運算構成一個域，且域擴張

$\mathbb Q(\sqrt[n]{2})/\mathbb Q$

的次數為

。請讀者自己驗證。

由於該擴張是有限擴張，從而是代數擴張，因此域

$\mathbb Q(\sqrt[n]{2})$

包含在

$\mathbb Q$

的代數閉包

$\bar{ \mathbb Q}$

中，這表明

$[\bar{\mathbb Q}:\mathbb Q]\geq n, \forall n$

，即

$\bar{\mathbb Q}$

是無限維的。

下節我們介紹一種具體的域擴張方式——單擴張（simple extension），並以單擴張的角度研究有限擴張。

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