陳陳40882021-03-05 09:54:20

一個現實的問題，如果貸款A=100萬買房，年利息率（複利）是r=7%，n=5年還清。如果每年還款一樣多（等額本息），那麼每年的還款額是多少？

先用笨法子，依次來理一理思路。首先，一開始，第0年，欠款100萬元。到第一年末，還款M，那麼就剩餘100（1+r）-M的欠款。到第二年末，還款M，就剩餘（100（1+r）-M）（1+r）-M=100（1+r）^2-M（1+r）-M。到第三年末，還款M，就剩餘（100（1+r）^2-M（1+r）-M）（1+r）-M=100（1+r）^3-M（1+r）^2-M（1+r）-M。到第四年末，還款M，就剩餘100（1+r）^4-M（1+r）^3-M（1+r）^2-M（1+r）-M。到第五年末，還款M，就剩餘100（1+r）^5-M（1+r）^4-M（1+r）^3-M（1+r）^2-M（1+r）-M。顯然，第五年末的剩餘欠款是0，於是我們就列出方程式100（1+r）^5-M（1+r）^4-M（1+r）^3-M（1+r）^2-M（1+r）-M=0。

求解M，這裡要用到等比數列的求和公式q+q^2+q^3+…q^n=（q-q^（n+1））/（1-q）。

最後，可以解出等額本息的M=A*r/（1-（1+r）^（-n））。

對於上面的具體案例，M=1000000*7%/（1-1。07^-5）=243890。69元/年。

我們也可以根據貨幣的現值公式來列方程，

100=M/（1+r）+M/（1+r）^2+M/（1+r）^3+M/（1+r）^4+M/（1+r）^5。

也可以根據貨幣的終值來列方程，

100*（1+r）^5=M（1+r）^4+M（1+r）^3+M（1+r）^2+M（1+r）+M。

雖然，上面3個方程式的物理意義不同，但最後的數學計算都是一樣的。

民間借貸利率的不同說法。銀行的房貸利率是標準的數學複利計算，對應真實的利息實際給付。但是，這種計算方法很複雜，要用到房貸計算器，不太直觀。另外一種更簡單的理解方式是“先息後本”。比方說，借款100萬，年利率7%，期限3年。第一年歸還利息7萬，第二年歸還利息7萬，第三年歸還利息7萬和本金100萬。這裡的利息也是年化複利的意義。

民間借貸常用到“月息幾釐或月息1分幾釐”。比方說，月息1分，就是每月利息是1%。就是說，借款100萬元，每月還1萬元的利息，第12個月到期還1萬的利息和100萬的本金。這裡的月息1%是複利的概念，相當於複利年利息率12。68%。

很多民間借貸形式是簡單直接的。比方說，借你100，年利息；我先扣20利息，給你80，一年後到期你還我100。這裡的“20%利息率”實際對應20/80=25%的真實利率。如果是期限2年，先扣40的利息，給你60到期還100，這明面上的“20%”實際就對應年化利率（100/60）^（1/2）-1=29。10%，這是很高的年利息了。

小額貸款公司一般是採取全額計息的說法。比方說，貸款100萬，月息1分，總共本息是112萬元；你每月等額還款112/12=9。33萬元。很顯然，這裡的“月息1分”要大大高於年化利息率12%。我們可以具體算一下。

根據上面的等額本息複利公式，M=A*r/（1-（1+r）^（-n））。將M=9。33，A=100，n=12，代入可解得r=0。018，這是月息，合複利的年利率24%。這個r的解是個合理試探近似解，直接是無法求解的。

如果是真實的月息1分（1%），貸款100萬元，每月的等額本息還款應該是M=100*0。01/（1-1。01^-12）=8。88萬元，要比全額計息的9。33萬元少0。5萬元。

曉澎12022-05-24 19:24:01

等額本息計算公式



等額本息計算公式是等額本息計算公式：每月還款額=貸款本金×［月利率×（1+月利率） ^ 還款月數］÷{［（1+月利率） ^ 還款月數］-1}



其中^表示乘方，例如：2個月就是2次方。

等額本息，是指一種貸款的還款方式。等額本息是在還款期內，每月償還同等數額的貸款（包括本金和利息）。