使用者7516924094788552019-10-20 05:14:47

實數， 是一種能和數軸上的點有一對一的對應關係的數。本來實數只喚作數，後來引入的虛數概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。 實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零。實數集通常用字母R或表示。而用 Rn 來代表 n 維實數空間 （n-dimensional real space）。 實數可以用來測量連續的量的。 實數是不可數的。 理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是迴圈的，也可以是非迴圈的）。 在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後n位，n為正整數）。 在計算機領域，由於計算機只能儲存有限的小數位數，實數經常用浮點數（floating point numbe）歷史埃及人早在公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們就意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據說中國也曾發明負數，但稍晚於印度。 在1871年，德國數學家康托爾最早地全面地給出了實數的定義。 從有理數構作實數 實數可以不同方式從有理數（即分數）構作出來，詳見實數之構作。 公理系統 如果 R 是所有實數的集合，則： 集合 R 是一個體： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等運算規律。 集合 R 是有序的：設 x， y 和 z 為實數，則： 若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z； 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。 集合 R 是完整的：設 R 的一個非空的子集合 S （）， 如果 S 在R 內有上限，那么 S 在 R 內有最小上限。 最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於2的有理數的集合存在有理數上限（1。5）， 但是不存在有理數最小上限（）。 實數是唯一適合似上等特性的集合：亦即如有兩個如此集合，則兩者之間必存在代數學上所稱的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。15 （整數） 2。121 （有限小數） 1。3333333。。。 （無限迴圈小數） 3。1415926。。。 （無限不迴圈小數） （無理數） （分數） 特性 完備性 實數集是拓撲完備的測度空間或一致空間，它有以下特性： 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。 有理數集並非拓撲完備，例如 （1， 1。4， 1。41， 1。414， 1。4142， 1。41421， 。。。） 是有理數的柯西序列卻沒有有理數極限。但它卻有個實數極限 √2。實數集是有理數集的空備化——這亦是其中一個構作實數集的方法。 極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐基裡德幾何的直線沒有“空隙”。