孤獨慢行者的遐想2017-09-08 12:04:14

這用問嗎？在數軸上有理數的個數和無理數相比可以忽略不計。你可以這樣想，設a可以代表數軸上的任意一個有理數，則對應的a+根號2，就是無理數，既有多少個有理數a，就有多少個無理數a+根號2。在數軸上單是個a+根號2的個數就和有理數a一樣多了，那a+根號3呢？a+根號5呢？a+任意的無理數還是無理數。所以數軸上有理數的個數和無理數相比，可以忽略不計

艾伯史密斯2018-02-17 22:41:46

答：有理數和無理數都是無窮多，但是對兩者的“勢”來說，是無理數多，而且是遠遠多於有理數。

集合的勢：用來度量集合規模大小的量，也就是集合元素的個數，也稱作集合的“基數”。

在很長一段時間內，數學家都認為無窮大是不能比較大小的。

直到19世紀，德國數學家康托爾（1845-1918），提出超窮數理論，人們才知道，原來無窮大也是有等級的。

為了比較無窮基數的大小，我們需要用到一個重要的數學概念“一一對應”。

比如平方數和正整數，就可以一一對應，偶數和正整數也可以一一對應。

而康托爾發現，正整數和有理數也是可以一一對應的，但是無理數和有理數無法一一對應。

並提出了著名的康托爾定理：所有集合的子集組成的集合，其基數（y）一定大於原集合的基數（x），並滿足y=2^x！

其中正整數的勢叫做可數基數（b），記作ℵ0（阿列夫零）。

無理數的勢叫做不可數基數（c），記作ℵ1。

根據康托爾定理，就有ℵ1=2^ℵ0

所以說無理數在數軸上的稠密度，遠遠大於有理數，也可以說無理數遠遠多於有理數，如果我們在數軸上隨機選一個點，幾乎不可能選到有理數。

好啦！我的答案就到這裡，喜歡我們答案的讀者朋友，記得點選關注我們——艾伯史密斯！

藍敏老師2017-09-08 10:17:26

先說答案：無理數多。

我們如何比較有理數與無理數的數量呢？畢竟兩個數量都是無窮的。

最簡單的辦法，是“對應”。

即：建立一種一一對應的方法，用一個有理數去對應一個無理數，如果剩下有理數無法對應，就是有理數多，剩下無理數無法對應，就是無理數多。

簡單起見，我們先用有理數與整數進行對應。再用無理數與整數進行對應，就可以比較了。

用有理數與整數進行對應，結果是：每個有理數，都可以對應一個整數。即有理數可以被用整數編號。

對應的方法很簡單：把每一個有理數，寫成一個分數，也就是說，每一個有理數可以用兩個整數表示，我們建立一張巨大的表格，有點像EXCL那樣的表，橫座標序號代表分子、豎代表分母，這個表格無限擴大後，可以把任何有理數包含進去（還有多），而表格數量本身是有理數，我們只需要從最左邊最上邊一個格開始編號，用整數，就可以把每一格編一個號，從而與有理數進行對應。這樣，證明了有理數並不比整數多。。同時我們也能證明整數並不比有理數多（這個簡單，因為是包含關係，所以略）。

即：有理數數量≦整數數量，整數數量≧有理數數量 ∴ 有理數數量=整數數量

結論就是，有理數在數量上等於無理數的數量。

再來看無理數，我們同樣建立起無理數與整數的對應。

此時，用反證法來證明。

假設，我們建立了某種對應關係，讓每一個無理數都對應一個整數。這樣，相當於我們可以為無理數編號，我們可以把無理數一個一個排起來，形成一排無限長的數列。

但是，我們可以發現，某些無理數不可能存在於這個數列中。

比如：因為無理數無限不迴圈，其上面任何一位都可能取任何值。所以，我們可以找到某一個無理數，其第一位不等於這個數列中第一個數的第一位，其第二位不等於這個數列中第二個數的第二位，……其第n位，不等於這個數列中第n個數的第n位……這個數是一個無理數，因為它每一位都可能取任何值。但我們可以說：它不存在於這個無理數數列之中。

如果你說：這個數就存在這個數列的上，是第37189個數。我就會說：它的第37189位，與你數列中第37189個數的37189位不同。所以，它不在這個數列上。

所以，以上假設錯誤。

所以，整數無法與無理數一一對應，對應後，無理數會多出來。

即：無理數>整數

而前面已證明： 有理數數量=整數數量

結合以上結論，我們可以知道：無理數數量>有理數數量。

超能網2018-05-14 21:19:12

先講一個故事。

從前有個開旅館的大老闆，經營著一家有無窮多個房間的旅館，他還有一個美麗的女兒。（人贏啊）。這家旅館不僅房間多，質量也高，生意興隆，有一天晚上竟然所有的房間都住滿了。這時又有一個人來住店，老闆心想我總不能讓你到無窮遠的那間房去吧，於是只得無奈地拿出了“滿房”的牌子（他沒想到真有一天能用上它）。正待客人失望地準備離開時，老闆美麗的女兒出現了，她對父親說：“讓客人住到一號房去，一號房的客人搬到二號房，二號房搬到三號房，……”這樣就把客人安頓下來了。可這時又來了無窮多名客人，老闆又在犯愁，這時女兒說：“讓一號住到二號，二號住到四號，四號住到六號……這樣就空出了無窮多的房間給他們住。”

這個故事告訴我們，透過一一對應的方法，我們可以比較無窮多元素的個數。所謂“無窮多個”的房間，即和自然數一樣多，每個房間號是1，2，3，4……嘛。自然數那麼多加一個還是自然數那麼多，自然數的兩倍還是自然數那麼多，奇數、偶數都和自然數一樣多（實際上我們下面馬上證明，自然數的自然數那麼多倍還是一樣多）。

老闆的女兒得意地對父親說：“即使再來無窮多個這樣一波無窮多客人的團隊，我也有辦法讓他們住下。先像剛剛一樣把1，3，5，7……房間空出來，再讓第一波客人住到3，3²，3³，……號房，第k波客人住到（2k-1）的冪號客房就可以了。”

如此一來，受到這位美麗姑娘的啟發，

大數學家康托爾把自然數這麼多個無窮的元素稱為“可列無窮多個”，並建立了鼎鼎大名的集合論。集合論用一一對應的方法，證明了實數的個數要遠遠稠密於自然數的個數，實數個數是“不可列的”。

回到題主的問題，數軸上有理數的個數其實就是自然數的自然數多倍，因為每個有理數都可寫為P/q的形式（其中p，q是整數），是可列多個。而實數分為有理數和無理數，如果實數是不可列多個，而有理數是可列多個，那麼無理數當然是不可列多個要遠遠多於有理數了。下面我們簡要地用康托爾的對角線方法來證明實數是不可列多個。

我們來看這樣一個矩陣（你不需要知道矩陣是什麼，它就是一堆正整數構成的無窮行無窮列的數表）。康托爾是考慮0到1之間的實數，每一行對應一個實數，第i行對應的實數是：

不按任何規律地去找到所有實數來填這個表。

現在我們要構造一個新的0到1之間的實數

讓它不屬於這個表，那就說明這樣的數表不能收納所有的實數，也就不能像老闆聰明的女兒那樣“可列”出來了，就能證明實數個數是不可列的。這個數是這樣寫出來的，若

就讓

否則就讓

於是這個數不會與表裡任意一個數相同，它不屬於這個表。

筆者這樣簡要地描述當然有許多值得商榷的地方，但康托爾嚴格建立的集合論已經滲透到數學的各個領域，因為筆者有把握地回答題主：

無理數要比有理數多

。

數學原來如此2018-02-18 06:40:16

無理數比有理數多得多

這個結論由著名數學家

康托爾

提出。在無窮這一前提下，康托爾提出了用“

一一對應

”來度量兩個集合的“勢”是否相等（即，兩個集合的元素相等）。

比如，下圖中蘋果和籮筐能構成“一一對應”，因此，他們的元素個數一樣多。

建立在“一一對應”下，可以得到很多不可思議的結論。比如，正整數和整數、以及有理數的個數都一樣多。有興趣的讀者可以進入我的頭條號主頁閱讀。

下面主要為大家證明：無理數比有理數多

不失一般性，我們來討論區間（0，1）內實數

思路：

自然數和有理數一樣多，如果證明實數比自然數多，那麼，無理數便比有理數多。

先假設自然數和（0，1）內的實數一樣多，則可列舉（如圖中的a1，a2，…）。現在取數m。滿足條件如右下角所示（x1≠b1，…）。這樣數m不屬於任意一個ai，i=1，2…。形成矛盾。故，（0，1）內實數比自然數多。

帖木兒2017-09-08 18:53:24

無窮集合比大小需要使用“一一對應”法則，可以建立一一對應時兩個無窮集合等“勢”（也就是說一樣大）。這個原則是超級大數學家康托爾建立的。另一位同時代的大數學家希爾伯特對此做了一個形象的科普：希爾伯特的無窮旅館。感興趣的可以自行google。

先舉個簡單例子：所有自然數和所有正偶數一樣多。沒學過的乍一聽會難以置信：正偶數明明只是自然數的子集，怎麼會一樣多？但在比較無窮時子集未必＜全集。我們很容易建立一一對應：×2。實際上自然數無窮是最小的無窮，因為可以一個個數，所以又稱作“可數無窮”。

我們還可以進一步證明所有有理數其實也是“可數”的，也就是說可以建立和自然數的一一對應。比如：我們把任一有理數寫成±p/q的最簡分數形式（p，q為正整數且互素），先對p+q從小到大排序，相同的再按p從小到大排序，最後排±號。這就輕易的建立了有理數和自然數的對應。

然而有理數和整個數軸（實數）並不是等勢的！康托爾漂亮證明“無法建立二者的一一對應”，這就是著名的“對角線方法”：首先我們來證明0-1的實數段不可數：

反證：假設0-1的實數段可數，那我們就可以把所有0-1的實數排成一個序列，出於簡便，我們用二進位制來表示實數（這樣每位只有0，1兩種數字）。每行代表序列裡的一個實數，寫成二進位制下無窮小數的形式，那麼我們構造一個0-1之間的實數：其小數位的二進位制表述如下：小數點後第一位取第一行（第一個實數）的小數點後第一位取反（01互反），…，第n位由序列第n行第n列的數位取反，… 然而，我們發現這個構造出來的實數不可能出現假定的序列之中（它和任何一行都至少有一位不同），因此我們知道假設錯誤，所以不可能存在實數和自然數的一一對應。實數無窮＞可數無窮，因此又被叫做“不可數無窮”。

由於實數就是有理數+無理數，實數不可數，有理數可數，所以顯然無理數不可數（兩個可數集的合併顯然還是可數的）。

結論：有理數＜無理數。這是無窮理論的入門知識。

教育束路2017-09-13 17:52:08

這個提發有點欠妥：有理數和無理數無法比較多少，因為它們都是無限的。但只能說，在數軸上，無理數的密度更密一些。中學數學暫時解釋不了那麼清楚。大學的《實變函式》學過後就明白了。

我老婆是段子會長2017-09-08 22:24:24

如果無理數是大海，有理數可以是微不足道的一滴水。關於元素有無窮個的集合比較關係，可以用勢的概念，簡單的說，就是一一對應，就像小孩子數著手指頭數數一樣。對於區間0-1，有理數=p/q，那麼有理數是序列是：1/2，1/3，2/3，1/4，2/4（和1/2重合），3/4……即使重合相等的算兩個數，那麼也可以用a/2，a/4，a/8……a>0，區間把它們“包圍”，實際上a/2＋a/4+a/8+……=a，也就是說你可以把a取得很小，有理數佔的區間可以為任意小。

小插曲而已，用區間套理論和勢的理論可以更嚴格的證明。ps：有沒有一個集合它的元素比有理數多而比無理數少？答案是可以有也可以沒有……

梁老師談教育2017-09-08 12:49:11

無法比較，這兩個都是無限集且不相互包含是不能一起比較大小多少的，具體例子：直線和射線如果進行比較長短，那麼本身就是錯誤的，因為不可比較，都是無限長，雖然感覺射線好像是直線的一半，這個是初中的基本題型，都是無限集不絕對不可比較，型別稍有不同的如下例：全體正整數是比全體整數少的，雖然也都是無限集，但是這個可以明確表示為A包含於B集合的情況，雖然是無限集，但是就可以比較多少了。同類無限集和有限集是可以比較的：如直線和線段誰長的問題。

神州風物2017-09-08 22:11:51

這是考查集合論的“勢”的概念，不能簡單用多少來做比較。無理數的“勢”大於有理數的“勢”。

當人類原有的知識出現自相矛盾不能解釋人們頭腦中的困惑時，一個新的概念建立了——勢。若兩個數列能建立一一對應關係，則說它們是等“勢”的，由此不難推匯出無理數的勢大於有理數的勢。

人類的認識就是如此，我們必將超越前人，後人也必將超越我們，永遠不會停留在一個點上。

我是學工科（0802）的，不是數學專業（0701）的，在眾多專業人士前班門弄斧了。不對之處請指出並望各位海涵～

歡迎關注微信公眾號——神州風土物產，可以討論交流神州地理、風土人情、歷史人文、各地物產、五行八作、三教九流，可以格物致知，亦可品經悟道……

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玲玲804682932017-09-08 16:25:22

有理數與無理數多少比較，不是個數比較，應該是勢的比較，全體有理數的勢與區間［0，1），上所有有理數的勢是相等的，因為有理數全體與區間［0，1）上有理數都組成了可列集，它們可以一一對應的，組成了可列集的勢阿列夫0，而無理數集是連續集，與全體實陣列成的集是一樣的，是阿列夫1，當然阿列夫0小於阿列夫1。比如（0，+∞）上所有有理數與（0，1）上所有無理數誰的勢大？當然（0，1）上的無理數勢阿列夫1大於（0，+∞），上所有有理數的勢阿列夫0。

尚老師數學2018-02-06 15:33:10

（在數軸上無理數比有理數多）

首先題干涉汲三個初中數學概念：

1、數軸：原點、正方向、單位長度。

性質：沿兩端無限沿伸，沒有盡頭。

2、無理數：無限不迴圈小數、開方開不盡的！

3、有理數：整數和分數，有限小數或迴圈小數！

在初中數學的範圍內不具備知識來回答這個問題！

例：一元二次方程在實數範圍內，存在沒解的情況，判別式小於零就無解。

但在高中數學引入虛數這個概念後，就不存在沒解了，都有解。

最後來解釋初中數學的定義和概念如下：

有理數和無理數統稱為實數！

任何一個實數都可以用數軸上的點來表示，同樣數軸上的任何一個點都可以表示一個實數。

實數與數軸上的點是一一對應關係。

在數軸上有理數或無理數都有無限多個！

在中學數學所學知識範圍內是沒法比較的，都有無限多個數！

但在以後的學習中會學到“實變函式”，在數軸上無理數比有理數多！

老堪692944386882018-05-15 02:36:08

數軸上沒有無理數。有，就不叫無理數了。我們的數軸實質上是寬度為1的二維“數帶”的一條長邊。這條數帶是先由無窮多個長度為1的一維線段緊密排列構成為邊長為1的正方形，然後由無窮多個這這樣的正方形接續而成的。數軸就是由數帶上那些一維線段的”端點”排列而成。每一個這樣的端點就是一個有理數，每一個自然數里都有∞多個有理數，整個數軸上就有∞²個有理數。

數軸不能反映無理數。無理數都在那些長度為1的一維線段上，沒在端點上。光1裡面就有∞²個無理數，整個數軸上則有∞³個無理數。於是，無理數的個數是有理數個數的∞²倍。

哦，又差點忘了提醒讀者，我從不照本宣科，更不百度，從來不百。我的回答一概是即興，都是原創。想學習數學別看我的東西，想研究數學也別看我的東西，數學老師更不要看，誤人子弟。我的東西僅僅適合夢想著重新審理數學的三次危機，夢想著加固數學基礎，夢想著以此來推動科學進步的人看。

舸暇2018-08-06 14:21:19

偶然目睹了太陽從西天升起的盛況，實乃三生有幸。

這是一個科學與神學同行，智慧與愚昧共舞的時代。

眾所周知，無限多個筆直排列的點的集合構成了數軸，即然大師們認為數軸上不存在直接相鄰的兩點，那麼這數軸是怎樣連續的？數軸憑藉什麼得以存在？

無理數的值無休無止的持續增長，是一個動態的數，正方形對角線的長度是一個固定的靜態的值，它與根號2等值的依據是什麼？

旅店的房間裡住滿了客人，又來了一撥無窮多的客人，老闆讓已住的客人依序挪進大號的房間，這需要無窮多的時間，想要住宿一晚的客人全部入住，這要等到何年何月？再說了，在已注滿水的容器裡還能裝入大海的水量，騙得了誰呢？一一救贖我吧，一位冒犯權威的匆匆過客

小變變大變2018-02-17 23:39:35

我在這裡說一個題外話，在我們日常生活中，所有的物體的長度其實都是無理數（包括跑步比賽最後的用時），有人會說，我們測出來的都是有理數啊！那是因為測量工具不夠精確！

所以，無理數是絕對多的，有理數少到可以忽略的程度，數軸的長度基本甚至可以說就是所有無理數點排列的長度。