小蜜蜂問答

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抽象代數重點解析——域（下）

烏蘭巴托海軍發表于娛樂2020-08-05

3。3 域的代數擴張

上一節我們研究了新增代數元的域擴張，本節我們研究新增多個代數元的域擴張。

定義3。3。1：若

是

的擴域，若

的所有元都是

上的代數元，則稱

是

的代數擴張。

定理3。3。1：

$F(\alpha)$

是域

的單擴張，則以下三個條件等價：（1）

$F(\alpha)$

是

的代數擴張；（2）

$\alpha$

是

上的代數元；（3）

$F(\alpha)$

是

的有限擴張。

證：（1）

$\Rightarrow$

（2）：顯然

$\alpha\in F(\alpha)$

，由定義3。3。1，顯然。（2）

$\Rightarrow$

（3）：由定理3。2。5立即可得。（3）

$\Rightarrow$

（1）：若

$[F(\alpha):F]=n$

，則

$\forall \beta\in F(\alpha)$

，

$1,\beta,\beta^{2},...,\beta^{n}$

一定線性相關，故存在

$a_{0},a_{1},...,a_{n}\in F$

，滿足

$\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\beta^{i}}=0$

，因此

$\beta$

是代數元，得證。

定理3。3。2：設

為

的有限擴張，

；設

為

的有限擴張，

；則

。

證：我們取

作為

上的線性空間的一組基

$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m}$

，

作為

上的線性空間的一組基

$\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n}$

，下證

$\{\alpha_{i}\beta_{j}|1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\}$

是

作為

上的線性空間的一組基。首先，

$\forall \gamma\in K$

，有

$\gamma=\sum_{i=1}^{m}{a_{i}\alpha_{i}}(a_{i}\in E)$

，並且

$\forall 1\leq i\leq m$

，都有

$a_{i}=\sum_{j=1}^{n}{b_{ij}\beta_{j}}(b_{ij}\in F)$

，因此

$\gamma=\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{b_{ij}\alpha_{i}\beta_{j}}}$

，寫成了線性組合的形式。其次，若

$\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{c_{ij}\alpha_{i}\beta_{j}}}=0$

，則

$\sum_{i=1}^{m}{(\sum_{j=1}^{n}{c_{ij}\beta_{j}})\alpha_{i}}=0$

，因

$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m}$

是一組基，彼此線性無關，所以

$\forall 1\leq i\leq m$

，都有

$\sum_{j=1}^{n}{c_{ij}\beta_{j}}=0$

，同理可得

$c_{ij}=0$

，因此線性無關，從而這是一組基，得證。

例3。3。1：設

是

的有限擴張，

是素數，則不存在域

，滿足

$F\subset E \subset K$

，且

$E\ne F,E\ne K$

。

以下，我們可以利用定理3。3。2將定理3。3。1進行推廣：

定理3。3。3：設

$K=F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})$

，以下三個條件等價：（1）

$F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})$

是

的代數擴張；（2）

$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}$

都是

上的代數元；（3）

$F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})$

是

的有限擴張。

證：（1）

$\Rightarrow$

（2）：顯然

$\alpha_{i}\in K$

，由定義3。3。1，顯然。（2）

$\Rightarrow$

（3）：用數學歸納法，由定理3。2。5，

$F(\alpha_{1})$

是

的有限擴張，設

$[F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n-1}):F]=m$

，若

$a_{n}$

是代數元，則有

$[F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}):F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n-1})]=n$

，由定理3。3。2，

$[F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}):F]=mn$

，得證。（3）

$\Rightarrow$

（1）：若

$[F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}):F]=n$

，則

$\forall \beta\in F(\alpha)$

，則

$\forall \beta\in F(\alpha)$

，

$1,\beta,\beta^{2},...,\beta^{n}$

線性相關，故存在

$a_{0},a_{1},...,a_{n}\in F$

，滿足

$\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\beta^{i}}=0$

，因此

$\beta$

是代數元，得證。

這樣，下面的結論就顯然了。

定理3。3。4：域

上的代數元的和、差、積、商也是代數元。

證：設代數元

$\alpha,\beta\in F$

，

$F(\alpha,\beta)$

是代數擴張，他們的和、差、積、商都屬於

$F(\alpha,\beta)$

，因此是代數元。

定理3。3。5：若

，其中

的元素都是

上的代數元，則

是

的代數擴張。

證：由定理3。2。2，

$F(S)=\bigcup_{S^{$

（

$S^{$

有限），再由定理3。3。3立即可得。

定理3。3。6：設

$E=F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})$

是

的代數擴張，

$K=E(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})$

是

的代數擴張，則

是

的代數擴張。

證：反覆運用定理3。3。3即可。

這一節的內容十分簡單，代數擴張的本質就是有限擴張，即多個單代數擴張的總和，下面看幾個例子。

例3。3。2：設

$\alpha$

是

$x^{3}-3x-1$

的一個實根，證明

$\sqrt{2}\notin Q(\alpha)$

。

解：設

$\sqrt{2}\in Q(\alpha)$

，則顯然

$Q\subset Q(\sqrt{2})\subset Q(\alpha)$

，並且

$[Q(\sqrt{2}):Q]=2$

，

$[Q(\alpha):Q]=3$

，由定理3。3。2，得

$[Q(\alpha):Q(\sqrt{2})]=\frac{3}{2}$

，矛盾，故

$\sqrt{2}\notin Q(\alpha)$

。

例3。3。3：若

$a,b\in Q$

，

$a,b\ne 0$

，則

$Q(\sqrt{a},\sqrt{b})=Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

。

解：顯然

$Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})\subset Q(\sqrt{a},\sqrt{b})$

，另外

$\sqrt{a}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+a-b}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

，類似可得

$\sqrt{a},\sqrt{b}\in Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

，因此

$Q(\sqrt{a},\sqrt{b})\subset Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

，得證。

例3。3。4：用例3。3。3的結論求

$Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$

作為

上的線性空間的一組基。

解：因

$Q(\sqrt{2},\sqrt{3})=Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

，並且由

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

可得

$x^{2}-2\sqrt{2}x-1=0$

，進而

$x^{4}-10x^{2}+1=0$

，由Einstein判別法這是不可約的，因此

$[Q(\sqrt{2},\sqrt{3}):Q]=4$

，基是

$1,\sqrt{2}+\sqrt{3},(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2},(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{3}$

，即

$1,\sqrt{2}+\sqrt{3},5+2\sqrt{6},11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$

。

例3。3。5：求

$Q(\sqrt{2},\sqrt{6})$

作為

上的線性空間的一組基。

解：

$Q(\sqrt{2},\sqrt{6})=Q(\sqrt{2})(\sqrt{6})$

，

$[Q(\sqrt{2}):Q]=2$

，下證

$x^{2}-6$

是

$Q(\sqrt{2})$

上的最小多項式，只需證

$\sqrt{6}\notin Q(\sqrt{2})$

，如不然，則有

$\sqrt{6}=a+b\sqrt{2}(a,b\in Q)$

，因此

$a^{2}+2b^{2}-6+2ab\sqrt{2}=0$

，若

，則

$b^{2}=3$

，若

，則

$a^{2}=6$

，均不滿足

$a,b\in Q$

。因此根據定理3。3。2，基是

$1,\sqrt{2},\sqrt{6},2\sqrt{3}$

。

3。4 多項式的分裂域

定義3。4。1：設

是

的擴張，

中的

上的代數元全體記作

$K_{0}$

，稱為

在

上的代數閉包。

定理3。4。1：若

是

的擴張，

$K_{0}$

是

在

上的代數閉包，則

$K_{0}$

是包含於

的最大的

的代數擴張，且

$K-K_{0}$

中的元素都是

$K_{0}$

上的超越元。

解：由定理3。3。4，

$K_{0}$

是域，顯然

$F\subset K_{0}\subset K$

；若

是

的代數擴張，則

上元素都是代數元，因而

$E\in K_{0}$

；設

$\alpha\in K-K_{0}$

，若

$\alpha$

是

$K_{0}$

上代數元，則

$K_{0}(\alpha)\supset K_{0}\supset F$

，有定理3。3。6，

$K_{0}(\alpha)$

是

上的代數擴張，與前面的結論矛盾。

設

是一個域，一般說來，並非每個

上多項式都能在

中分解成一次因式的乘積，如果能做到，則

的代數閉包就是

，因而沒有代數擴張，此時

稱為一個代數閉域。例如，複數域是代數閉域，實數域和有理數域不是。本節主要研究包含特定多項式

所有的解的最小域。

定義3。4。2：設

是域

的擴張，

$f(x)\in F[x]$

，若滿足：（1）

在域

上可以分解為

$f(x)=a(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})...(x-\alpha_{n})(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}\in E)$

；（2）

$E=F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})$

。則稱

是

在

上的分裂域。

注：（1）意味著

上包含

所有的根。（2）意味著

是最小的。

定理3。4。2：設

是域，多項式

$f(x)\in F[x]$

，

，則

在

上的分裂域存在。

證：對

用數學歸納法，當

時，顯然分裂域就是

。設

時結論成立，當

時，設

，且

在

上不可約，令

$F_{1}=F[x]/<p(x)>$

，由定理3。2。3，

$F_{1}=F(\alpha_{1})$

，並且有

$f(\alpha_{1})=0$

和

$\alpha_{1}=x+<p(x)>$

，於是

$f(x)=(x-\alpha_{1})f_{1}(x)$

，由歸納假設，存在

$f_{1}(x)$

在

$F_{1}$

上的分裂域，

$E=F_{1}(\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{k+1})=F(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{k+1})$

，並且在

上有

$f(x)=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})...(x-\alpha_{k+1})$

，得證。

據此，下面兩個結論是顯然的。

定理3。4。3：設

是

在

上的分裂域，

，則

$[E:F]\leq n!$

。

證：用數學歸納法，當

時，顯然成立。設

時結論成立，當

時，根據定理3。4。2的證明過程，我們有

$[E:F]=[E:F_{1}][F_{1}:F]$

，故

$[F_{1}:F]=degp(x)\leq n$

，由歸納假設

$[E:F_{1}]\leq (n-1)!$

，得證。

定理3。4。4：設

是

在

上的分裂域，域

滿足

$F\subset E\subset K$

，則

是

在

上的分裂域。

這個結論十分自然，不證。下面還需要研究分裂域的唯一性問題，研究這個問題的過程較為繁瑣，下面直接給出結論。

定理3。4。5：設

$F_{1},F_{2}$

是域，存在他們之間的同構

$\varphi$

，

$f(x)\in F_{1}[x]$

，

$E_{1}$

是

在

$F_{1}$

上的分裂域，

$E_{2}$

是

$\varphi[f( x)]$

在

$F_{2}$

上的分裂域，則

$E_{1}$

與

$E_{2}$

同構。

例3。4。1：設

$f(x)\in R[x]$

，若

有非實根，則

在

上的分裂域是複數域

。

解：設

$\alpha$

是一非實數根，

是分裂域，則

$R\subset R(\alpha)\subset E \subset C$

，顯然

，

$[R(\alpha):R]\ne 1$

，因而

$C=E=R(\alpha)$

。

例3。4。2：設

是域，求

$f(x)=x^{2}+ax+b(a,b\in F)$

在

上的分裂域

。

解：若

可約，則顯然

。若不可約，令

$\alpha=x+<x^{2}+ax+b>$

，有

$f(\alpha)=0$

，並且

$F(\alpha)\simeq F[x]/<x^{2}+ax+b>$

，於是在

$F(\alpha)$

上有

$x-\alpha|x^{2}+ax+b$

，由韋達定理，令

$\beta =\frac{b}{\alpha}$

，有

$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$

，並且

$F(\alpha,\beta)=F(\alpha)$

，因此

$E=F(\alpha)$

。

例3。4。3：求下列多項式在

上的分裂域：（1）

$x^{2}+3$

。（2）

$x^{4}+1$

。（3）

$(x^{2}-2)(x^{2}-3)$

。

解：（1）

$x^{2}+3$

不可約，且

$x^{2}+3=(x+\sqrt{-3})(x-\sqrt{-3})$

，因而分裂域是

$Q(\sqrt{-3},-\sqrt{-3})=Q(\sqrt{-3})$

。（2）

$x^{4}+1$

不可約，設

$\alpha$

是

$x^{4}+1$

的根，由例3。2。5，且

$x^{4}+1=(x+\theta)(x-\theta)(x-\theta^{3})(x+\theta^{3})$

，因而分裂域是

$Q(\theta,-\theta,\theta^{3},-\theta^{3})=Q(\theta)$

。（3）因

$(x^{2}-2)(x^{2}-3)$

$=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

，分裂域

$Q(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3})$

$=Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$

，由例3。3。5的證明方法，我們可以得出

$\sqrt{3}\notin Q(\sqrt{2})$

（等價於

$\sqrt{2}\notin Q(\sqrt{3})$

），因此分裂域是

$Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$

。

例3。4。4：

是素數，求

$x^{p}-1$

在

上的分裂域。

解：顯然有

$x^{p}-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1)$

，因此

$x^{p}-1$

的分裂域就是

$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$

的分裂域，若

，顯然分裂域是

，若

，這是不可約多項式，設

$\alpha$

是它的根，容易驗證

$\alpha,\alpha^{2},...,\alpha^{p-1}$

都是它的根，因而分裂域

$Q(\alpha,\alpha^{2},...,\alpha^{p-1})=Q(\alpha)$

，且

$[Q(\alpha):Q]=p-1$

。

例3。4。5：求

$x^{3}-2$

在

上的分裂域

，並求

。

解：設

$\alpha_{1}=\sqrt[3]{2}$

是

$x^{3}-2$

的一個根，則

$[Q(\alpha_{1}):Q]=3$

，並

$(x^{3}-2)=(x-\alpha_{1})(x^{2}+\alpha_{1}x+\alpha_{1}^{2})$

，設

$\omega$

是

$x^{2}+x+1$

的根，則

$\alpha_{2}=\alpha_{1}\omega$

是

$x^{2}+\alpha_{1}x+\alpha_{1}^{2}$

的根，容易驗證

$\alpha_{3}=\alpha_{1}\omega^{2}$

也是

$x^{2}+x+1$

的根。於是，分裂域

$Q(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=Q(\alpha_{1},\omega)$

，下證

$\omega\notin Q(\alpha_{1})$

，設

$\omega=a+b\sqrt[3]{2}(a,b\in Q)$

，則根據

$\omega$

是

$x^{2}+x+1$

的根求得，

$a^{2}+a+1+b^{2}\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}=0$

，顯然不滿足條件，因此分裂域

$E=Q(\alpha_{1},\omega)$

，且

$[E:Q]=[E:Q(\alpha_{1})][Q(\alpha_{1}):Q]$

$=3\times 2=6$

。

例3。4。6：設

$x^{3}-a$

是

上的不可約多項式，

$\alpha$

為它的一個根，證明

$Q(\alpha)$

不可能是它的分裂域。

解：記它的分裂域為

，參考例3。4。5的方法，我們可以得出

，但是

$[Q(\alpha):Q]=3$

，矛盾。

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標籤：代數定理分裂擴張設是