連續的週期函式都有最小正週期嗎？

予一人2021-08-28 23:30:14

可以證明

定義在

$\mathbb{R}$

上的非常值的連續週期函式必有最小正週期。

考慮利用反證法。

設

是連續週期函式，考察其所有正週期組成的集合

由於

非空且有下界，於是依確界原理，

必有下確界，記這下確界為

$\alpha.$

由於

中無最小元素，所以

必是無窮集，於是必可於其中分選出單調遞減收斂於

$\alpha$

的子列

$\{p_n\}.$

再置

$q_n:=p_{n}-p_{n+1},$

顯然所有

也都是

的週期，且

$q_n\to0.$

於是對任意的

$\delta>0,$

必可求得某個

$T\in \{q_n\}$

使得

$0<T<\delta.$

請注意：定義在

$\mathbb{R}$

上的連續週期函式必定一致連續，於是對任意的

只要

$|x-y|<\delta,$

就有

$|f(x)-f(y)|<\varepsilon.$

又總能求得整數

使得

$|(x+kT)-y|<\delta,$

於是

$|f(x)-f(y)|=|f(x+kT)-f(y)|<\varepsilon,$

再依

$\varepsilon>0$

的任意性，這隻能是

與函式非常值矛盾。

伊琳2021-09-03 20:23:22

不一定

狄利克雷函式

狄利克雷函式（英語：dirichlet function）是一個定義在實數範圍上、值域為不連續的函式。狄利克雷函式的影象Y軸以Y軸為對稱軸，是一個偶函式；它處處不連續；處處極限不存在；不可積分。這是一個處處不連續的可測函式。

狄利克雷函式即f（x）=1（當x為有理數）；f（x）=0（當x為無理數）；而週期函式的定義是對任意x，若f（x）=f（x+T），則f（x）是週期為T的週期函式。

顯然，取T為任意一個確定的有理數，則當x是有理數時f（x）=1，且x+T是有理數，故f（x+T）=1，即f（x）=f（x+T）；當x是無理數時，f（x）=0，且x+T是無理數，故有f（x+T）=0，即f（x）=f（x+T）。綜上，狄利克雷函式是週期函式，其週期可以是任意個有理數，所以沒有最小正週期。

那個，狄利克雷函式好像不是連續的。。。

666不存在2021-09-06 21:59:16

$首先我看了予一人大佬的解答，非常精彩，我下面給出一個從正面出發的解答\\如有最小正週期{{T_0}},那麼{{T_0}}便是所有正週期的下確界，\\反之，若能證明全體正週期的下確界仍是一個正週期，\\並且整個週期是大於0的.於是只要證明下面這三個點\\ 1.inf\{f的正週期\}=T_0存在；2.T_0仍為f的週期3.T_0>0\\ 證明:因為集合\{f的正週期有下界0\}，根據確界存在定理，\\inf\{f的正週期\}=T_0存在。 \\2.證明T_0\in\{f的週期\}。根據確界的性質，\exists T_n\in\{f的正週期\}（n=0,1,2\cdots)\\,使得T_n\lim_{n\rightarrow\infty}\rightarrow T_0(n\rightarrow\infty).如此，\forall x\in \bf{R}有\\ f(x+T_0) = f(x+\lim_{x\rightarrow\infty}T_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(x+T_n)=f(x)\\此式表明T_0是f的週期。\\3.因T_n>0,T_n \rightarrow T_0（當n \rightarrow \infty)，所以T_0 \geq 0,假若T_0=0,\\則T_n\rightarrow 0（當n \rightarrow \infty),f的週期網點（指等於週期整數倍的點）在\\實軸R上稠密，從而，\forall x\in R,\exists\{{x_n}\}\rightarrow x(其中\{x_n\}是由一些週期網點所\\組成的序列）。於是\\f(x)=f(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(0+x_n)=f(0).\\ 即f(x)\equiv f(0)，為常數，矛盾，故T_0>0$