微分中值定理

是構建微分學等理論的基本工具，但是它只能初步地解決問題。要問僅用導數可以將函式刻畫到什麼程度，還是要看

泰勒公式

。

所謂的刻畫函式，就是我們試圖用

足夠簡單

的函式作為

儘量多

的函式的近似。

多項式函式

不僅形式簡單，還可以方便地進行加法、乘法、複合運算，也很容易求導，所以將函式用多項式函式逼近是個不錯的想法。

現在考慮一個問題，已知函式

f

在區間

\left(a,b\right)

上

n+1

階可導，並已知

f

在

x_0\in\left(a,b\right)

處的值和

1,2,\cdots,n

階導數值，怎樣的多項式函式可以作為對它的近似呢？自然地想到，可以用一個在

x_0

處的值和各階導數值都與

f

相同的多項式函式來近似它。

以上就是

泰勒公式

的內涵。設函式

f

在區間

\left(a,b\right)

上

n+1

階可導，

x_0\in\left(a,b\right),

則對於任意

x\in\left(a,b\right),

成立

f\left(x\right)=\sum_{i=0}^n\frac{f^\left(i\right)\left(x_0\right)}{i!}\left(x-x_0\right)^i+\frac{f^\left(n+1\right)\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_0\right)^{n+1}.

其中

\xi=\left(1-\theta\right)x_0+\theta x,

\theta\in\left[0,1\right].

容易看出，如此給出的

f

的

近似函式

\bar f\left(x\right)=\sum_{i=0}^n\frac{f^\left(i\right)\left(x_0\right)}{i!}\left(x-x_0\right)^i,

使得

\bar f

在

x_0

處的值和各階導數值都與

f

相等，同時我們給出了這種近似的誤差。

經過上述對泰勒公式意義的分析，讀者應該不會覺得這個近似函式很難理解。接下來，重點說明對於近似誤差的理解。

回顧之前的

拉格朗日中值定理

。只敘述

x>x_0

的情形。上述的函式

f

在區間

\left[x_0,x\right]

上滿足定理條件，則定理結論可以表述為存在

\xi\in\left[x_0,x\right],

使得

f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f

這實際上就是泰勒公式的退化情形。拉格朗日中值定理給出的其實是將函式近似為

常數函式

時的誤差分析，而泰勒公式更進一步，確定出將函式區域性近似為多項式函式的具體結果，並參照微分中值定理的形式，給出了近似的誤差分析。

在未來，我們會說明由泰勒公式給出的近似函式，在一定條件下是完美的和最佳的。由此可以認為，泰勒公式是微分中值定理的高階形式，更是微分學的頂峰。

利用泰勒公式，例如，我們可以求出

\pi

的一個

近似值

。

注意到函式

f\left(x\right)=\cos x

的最小正零點是

\pi/2,

並且

\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6\cos\xi}{720}.

在

\left(0,2\right)

的範圍內解方程

1-x^2/2+x^4/24=0

得到

x=\sqrt{2\left(3-\sqrt3\right)}=1.59,

這就是

\pi/2

的近似值。再利用

\left.\frac{\mathrm d\cos x}{\mathrm dx}\right|_{x=\pi/2}=-1,

可知上述近似值的誤差約為近似函式在

\pi/2

處的誤差的

-1

倍。由此估計近似值的誤差

\Delta x=\frac{x^6}{720}=0.02.

於是

\pi

的近似值為

3.18,

誤差約為

0.04.