怎麼理解數學裡的點火公式？

Momona Yang2017-12-13 15:10:58

不謝邀。

著名的點火公式，偶數時點火成功乘

$\frac{\pi}2$

，奇數時點火失敗以

打止。寫成通式便是

$I_{2k}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{\pi}2$

以及

$I_{2k+1}=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

。

我們接著看。考慮

$\sin x\leq1$

，總有

$\sin^nx\cdot\sin x=\sin^{n+1}x\leq\sin^n x$

，考慮積分保號性，

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}x\mathrm dx\le\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}x\mathrm dx$

$\leq\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n-1}x\mathrm dx$

，即

$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\leq\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}$

$\leq\frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!}$

，同除

$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

得

$1\leq\frac{(2n-1)!!(2n+1)!!}{[(2n)!!]^2}\frac{\pi}{2}\leq\frac{2n+1}{2n}$

，依夾逼得

$\lim_{n\to\infty}\frac{[(2n)!!]^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!}=\frac{\pi}{2}$

。來一通變形。

$\begin{align} \frac{[(2n)!!]^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!} & = \frac{1}{2n+1}\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2 =\frac{1}{2n+1}\left[\frac{(2n)!!}{\frac{(2n)!}{(2n)!!}}\right]^2 \\ &= \frac{1}{2n+1}\left[\frac{[(2n)!!]^2}{(2n)!}\right]^2=\frac{1}{2n+1}\left[\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\right]^2 \end{align}$

故我們有

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}\left[\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\right]^2=\frac{\pi}{2}$

，即為 Wallis 公式。

既然提到階乘了，不如把尤拉積分也講了。滑稽書把這點內容擱在了反常積分這節。

考慮 Euler Beta function

$\mathrm B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx$

，讓

$x=\sin^2t$

則有

$\mathrm B(\alpha,\beta)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2\alpha-1}t\cos^{2\beta-1}t\mathrm dt$

。和點火公式對比得

$I_n=\frac12\mathrm B\left(\frac{n+1}{2},\frac12\right)$

。故依遞推、轉換、餘元得：

$I_{2k}=\frac{\Gamma(k+\frac12)\Gamma(\frac12)}{2\Gamma(k+1)}$

$=\frac{(2k-1)!!\Gamma^2(\frac12)}{2^{k+1}k!}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{\pi}{2}$

，

$I_{2k+1}=\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(\frac12)}{2\Gamma(k+\frac32)}$

$=\frac{k!\Gamma(\frac12)}{(2k+1)\Gamma(k+\frac12)}=\frac{k!\Gamma(\frac12)}{(2k+1)\frac{(2k-1)!!}{2^k}\Gamma(\frac12)}$

$=\frac{2^kk!}{(2k+1)!!}=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

。

小僧有禮了2020-03-18 23:54:56

是在很久以前，張宇考研數學的張宇老師說的點火公式，後來都傳開了，今天學到兩點吧

清隳2020-03-24 14:49:20

其實只是 Beta 函式的一個應用。大家應該知道 Gamma 函式，即

$\Gamma(\alpha):=\int_{0}^{+\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} \mathrm{d} t \ \ (\alpha >0)$

，這是階乘的推廣，滿足

$\begin{aligned} &\Gamma(1)=1 ; \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\\ &\Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha) ; \Gamma(n)=(n-1) ! \end{aligned}$

那麼 Beta 函式定義為

$B(m, n):=\int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} {\rm d} x$

並滿足

$B(m, n)=\frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

根據以上，不難得到

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{a} x \cos ^{b} x {\rm d} x={1\over 2}B\left({a+1\over 2}, {b+1\over 2}\right)$

向題述公式轉換，有

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x{\rm d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x{\rm d} x&={1\over 2}B\left({n+1\over 2}, {1\over 2}\right)\\ &={1\over2}\frac{\Gamma({n+1\over 2})\Gamma({1\over 2})}{\Gamma({n+2\over 2})}\\ \end{aligned}$

為奇數時：

$\begin{aligned} {1\over2}\frac{\Gamma({n+1\over 2})\Gamma({1\over 2})}{\Gamma({n+2\over 2})}={1\over2}\frac{{n-1\over 2}!\ \Gamma({1\over 2})}{{n\over 2}\cdot{n-2\over 2}\cdots {1\over 2}\Gamma({1\over 2}) } ={n-1 \over n}{n-3\over n-2}\cdots {2\over 3}={(n-1)!!\over n!!} \end{aligned}$

為偶數時：

$\begin{aligned} {1\over2}\frac{\Gamma({n+1\over 2})\Gamma({1\over 2})}{\Gamma({n+2\over 2})} ={1\over2}\frac{{n-1\over 2}\cdot{n-3\over 2}\cdots {1\over 2}\Gamma({1\over 2}) \ \Gamma({1\over 2})}{{n\over 2}! } ={n-1 \over n}{n-3\over n-2}\cdots {1\over 2}{\pi \over 2} ={(n-1)!!\over n!!}{\pi \over 2} \end{aligned}$

據說尤拉就是為了保證

$B(m, n)=\frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

的形式優美才把 Gamma 函式定義為

$\Gamma(\alpha):=\int_{0}^{+\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} \mathrm{d} t$

這個怪樣子：積分號內是

$t^{\alpha-1}$

而非

$t^{\alpha}$

。

寨森Lambda-CDM2020-04-10 09:17:10

我補充一點在複變函式上的看法。

當

是偶數時，

$I=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \sin ^n\theta\mathrm{d}\theta =\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos ^n\theta\mathrm{d}\theta =\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2k}\theta\mathrm{d}\theta$