點列收斂的概念本質上來源於拓撲，因此談到收斂一定要想著對應什麼樣的拓撲。

定義1.1

對任意的拓撲空間

(X,\tau)

，稱序列

\{x_n\}\subset X

收斂

到

x \in X

，若滿足對

x

的任何一個領域

U

，存在一個正整數

N

，使得當

n>N

時，恆有

x_n\in U

。

對於無拓撲結構的非空集合

X

，我們可以透過它到拓撲空間的對映來賦予

X

上的拓撲，具體而言：

設有對映族

\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}

，其中

\Lambda

為任意指標集，

f_{\lambda}

為

X

到

Y_{\lambda}

的對映，

(Y_{\lambda},\tau_{\lambda})

為拓撲空間，將集族

\{f_{\lambda}^{-1}(\mathscr{O}_{\lambda})|\mathscr{O}_{\lambda}\in\tau_{\lambda}\}

作為準基（子基）生成的拓撲

\tau

稱作

X

上由

\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}

生成的拓撲。

在拓撲空間

(X,\tau)

中，點

x

處的領域基具有形式

N_{\mathscr{O}_1(x),\cdots,\mathscr{O}_n(x);f_1,\cdots,f_n}(x)=\{x

其中

\mathscr{O}_k(x)

為

f_k(x)

的領域，

f_1,\cdots,f_n

為

\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}

的有限子集。

特別地，若取

(Y_{\lambda},\tau_{\lambda})

恆為

(R,\tau_R)

，即實數集和其上的歐式拓撲，領域基具有形式

N_{\epsilon;f_1,\cdots,f_n}(x)=\{x

，其中

\epsilon >0

，

f_1,\cdots,f_n

為

\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}

的有限子集。

定理1.2

\{x_n\}

在

(X,\tau)

中收斂到

x

當且僅當對任意的

f_{\lambda}

，

f_{\lambda}(x_n)

在

(Y_{\lambda},\tau_{\lambda})

中收斂到

f_{\lambda}(x)

弱拓撲

特別地，考慮賦範線性空間

X

，若取

\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}=X^*

（

X

的對偶空間），則生成的拓撲稱為

X

上的

弱拓撲

。

上面所說的收斂都是點列的收斂，下面考慮對映列的收斂。

點態收斂拓撲

其實可以把任意一個對映

g:X\rightarrow Y

看做乘積空間

Y^X

上的一個點，其中

(Y,\tau _Y)

為拓撲空間。對映列的收斂就轉換成

Y^X

中點列的收斂性。具體而言，若將

X

看做

Y^X

到

Y

的對映族，即取

\{f_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}=X

，記生成的拓撲為

\tau_{Y^X}

稱作

點態收斂拓撲

，則

\{g_n\}

在

(Y^X,\tau_{Y^X})

中收斂到

g

當且僅當對任意的

x

，

g_n(x)

（看做

x(g_n)

）收斂到

g(x)

（ 看做

x(g)

），這就是我們常說點態收斂。

remark：上述生成的拓撲

\tau_{Y^X}

與

Y^X

上的積拓撲是一致的。

一致收斂的概念就對應著一致拓撲

一致拓撲

定義1.3

設

(Y,d)

是一個度量空間，

\bar{d}(a,b)=min\{d(a,b),1\}

是

Y

上相應於

d

的標準有界度量。若

x=(x_{\alpha})_{\alpha \in J}

與

y=(y_{\alpha})_{\alpha \in J}

是笛卡爾積

Y^J

的兩個點，令

\bar{\rho}(x,y)=sup\{\bar{d}(x_{\alpha},y_{\alpha}) | \alpha \in J\}

稱其為

Y^J

相應於

Y

的度量

d

的

一致度量

。由該度量誘導的拓撲為

Y^J

上的

一致拓撲

。

回顧一致收斂的定義：設

\{f_n\}

是集合

X

到度量空間

(Y,d)

的對映列，稱

\{f_n\}

一致收斂於

f:X\rightarrow Y

，若對任意的

\epsilon>0

，存在正整數

N

，當

n>N

時，對於任意的

x\in X

，有

d(f_n(x),f(x))<\epsilon

。

當然我們有

\{f_n\}

收斂到

f

在

(Y^J,\bar{\rho})

下當且僅當

\{f_n\}

一致收斂於

f

定理1.4

如果空間

(Y,d)

完備，則

(Y^J,\bar{\rho})

完備。

現在我們把指標集

J

取作拓撲空間

X

，這並不會影響上面的所有討論。但我們考慮所有對映

f:X \rightarrow Y

構成的集合時（即

Y^X

），

X

上的拓撲是無所謂的。但我們若考慮所有連續對映

f:X \rightarrow Y

構成的集合

C(X,Y)\subset Y^X

時，就與

X

上的拓撲有關了。

定理1.5

設

X

是一個拓撲空間，

(Y,d)

是一個度量空間，則連續對映全體

C(X,Y)

和有界對映全體

B(X,Y)

在一致度量

\bar{\rho}

下都是

Y^X

的閉集。因此若

(Y,d)

完備，則這兩個空間都完備。

我們常常在

B(X,Y)

上定義另一種度量：

\rho(f,g)=sup\{d(f(x),g(x))|x\in X\}

，稱作

上確界度量

。上確界度量和一致度量有一些簡單的聯絡。事實上，若

f,g \in B(X,Y)

，則有

\bar{\rho}(f,g)=min\{\rho(f,g),1\}

，若

X

是緊緻的，那麼

C(X,Y)\subset B(X,Y)

，此時上確界度量就可以定義在

C(X,Y)

上。

[Ascoli定理，經典形式]

設

X

是一個緊緻空間，

(\mathbb{R}^n,d)

表示關於平方度量或歐式度量的歐式空間，賦予

C(X,\mathbb{R}^n)

相應的一致拓撲，那麼

C(X,\mathbb{R}^n)

的子空間

\mathscr{F}

有緊緻閉包當且僅當

\mathscr{F}

關於

d

是等度連續和點態有界的。

現在我們已經在

Y^X

上賦予了點態收斂拓撲和一致拓撲，下面引入第三類常見的拓撲。

我們知道連續函式列在一致拓撲下的極限是連續的，然而在點態收斂拓撲下未必有連續的極限。那麼是否存在介於這兩個拓撲之間，且仍能保證連續函式的收斂序列有連續的極限呢？答案是肯定的，這個拓撲的構造如下

緊緻收斂拓撲

定義 設

(Y,d)

是一個度量空間，

X

是一個拓撲空間。給定

Y^X

的一個元素

f

，

X

的一個緊緻子空間

C

以及一個數

\epsilon>0

，令

B_C(f,\epsilon)=\{g\in Y^X|sup\{d(f(x),g(x))<\epsilon\}\}

。容易驗證集合族

\{B_C(f,\epsilon)|f\in Y^X,C為X的緊緻子空間,\epsilon>0\}

滿足構成拓撲基的條件，其生成的拓撲稱為

緊緻收斂拓撲

。

關於三種拓撲的關係有如下包含關係：（一致拓撲）

\subset

（緊緻收斂拓撲）

\subset

（點態收斂拓撲）

Ascoli定理

最後給出Ascoli定理的一般形式：

[Ascoli定理]

設

(Y,d)

是一個度量空間，

X

是一個拓撲空間，賦予

C(X,Y)

緊緻收斂拓撲，設

\mathscr{F}

是

C(X,Y)

的一個子集。

若

\mathscr{F}

關於

d

是等度連續的，並且集合

\mathscr{F}_a=\{f(a)|f\in \mathscr{F}\}

對於每個

a\in X

有緊緻閉包，則

\mathscr{F}

包含於

C(X,Y)

的一個緊緻子空間中。

若

X

是區域性緊緻的Hausdorff空間，則逆命題也成立。