如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？知乎使用者2021-02-01 10:05:23

1。拋物線的定義（拋物線上一點到焦點距離＝到準線距離，距離公式即可）

2。特殊化後初等變換（如先求得焦點在軸上的方程，然後進行旋轉平移）

畢竟圖形本身是不變的，變得是“參考系”，抓住這一點，根據題目本身應該還能有其它想法。

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？數理爆破手2021-02-01 12:23:55

焦點和準線的距離是p，也就是方程係數的一半。高考考的比較簡單，記住標準的方程就可以！

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？0x762021-02-01 14:04:21

感覺題目是給定任意直線作為準線、任意不在該直線上的點作為焦點，求拋物線方程。

設準線方程為

y = kx+b

，焦點

F:(x_0, y_0)

。

三步走，定型、旋轉、平移。

第一步，

定型

：

過原點，開口向上的拋物線方程為：

2py = x^2

，其中只有一個引數

p

控制它的曲線形狀。而且由其定義，知拋物線的焦點為

\left(0, \frac{p}{2}\right)

，準線方程為

y = -\frac{p}{2}

，從中可以得到焦點到準線的距離為

p

。

那麼對於準線方程為

y = kx+b

，焦點

F:(x_0, y_0)

的拋物線，要確定它的形狀，首先要求得焦點到準線的距離

d = \frac{\left|kx_0 - y_0 + b\right|}{\sqrt{k^2 + 1}}

由此得到的基本形狀是，

2dy = x^2

。

第二步，

旋轉：

先來確定要旋轉的角度，如下圖所示

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？

假設 A 為要得的焦點，直線 BC 為準線，那麼要找的角度就是向量

\vec {DA}

與

y

軸正方向的夾角，記為

\theta

，這裡注意，

\theta

應帶符號（以

y

軸正方向逆時針到

\vec {DA}

為正，如上圖則為負角）。

然後應用平面旋轉矩陣，即

\begin{bmatrix} x^{\prime} \cr y^{\prime} \cr \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta\cr \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \cr y \cr \end{bmatrix}

第三步，

平移：

最後把情況1的原點，平移到上圖中的

DA

中點即可。

下面演示構造焦點為

F:(1, 2)

，準線為

l:y = -3x + 1

的拋物線。

首先求距離，代入公式得

d = \frac{2\sqrt{10}}{5}

。 那麼得基本形狀拋物線方程

y = \frac{\sqrt{10}}{8} x^2

。

計算得

F

到

l

的垂足的座標為

P:\left(-\frac{1}{5}, \frac{8}{5}\right)

，那麼向量

\vec {PF} = \left(\frac{6}{5}, \frac{2}{5}\right)

。

記向量

\vec {PF}

與

y

軸正方向夾角為

\theta

，容易看出

\theta

應為負。

由向量積得，

\cos |\theta| = \frac{\sqrt{10}}{10}

。那麼得

\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}, \sin\theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}

。

代入旋轉矩陣，應用矩陣乘法得

\left\{\begin{split} x^{\prime} &= \frac{\sqrt{10}}{10} x + \frac{3\sqrt{10}}{10} y\cr y^{\prime} &= -\frac{3\sqrt{10}}{10} x + \frac{\sqrt{10}}{10} y \end{split}\right.

得拋物線方程，此時寫為引數方程比較方便：

\left\{\begin{split} x &= \frac{\sqrt{10}}{10} t + \frac{3}{8}t^2\cr y &= -\frac{3\sqrt{10}}{10} t + \frac{1}{8}t^2 \end{split}\right.

又

P

F

中點座標為

\left(\frac{2}{5}, \frac{9}{5}\right)

，得最終的方程

\left\{\begin{split} x &= \frac{\sqrt{10}}{10} t + \frac{3}{8}t^2 + \frac{2}{5}\cr y &= -\frac{3\sqrt{10}}{10} t + \frac{1}{8}t^2 + \frac{9}{5} \end{split}\right.

。

畫圖檢驗

首先用 GeoGebra 自帶的程式算出拋物線

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？

然後輸入上面求得的引數方程，就是那個 d

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？

一模一樣，嘿嘿。

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？知乎使用者2021-02-02 11:17:27

在準線上取動點D，過D作準線的垂線；

設焦點為F，作DF的中垂線；

兩條垂線交於T，則T就代表拋物線上的動點。

給出D的引數方程，就可以求出T，也就是拋物線的引數方程。

消去引數，就得到拋物線的方程式。

如何求一個已知準線焦點的拋物線方程？Alex MOK2021-02-03 09:59:44

焦點（x0，y0），準線：直線Ax+By+C＝0

拋物線方程：

［（x-x0）平方+（y-y0）平方］（A方+B方）=（Ax+By+C）平方

C2+2ACx+2BCy=

-2A2x0x-2B2x0x+A2x02+B2x02+

-2A2y0y-2B2y0y+A2y02+B2y02

（Bx-Ay）2+（A2+B2）（x02+y02）-C2