偶然間在知乎看到了一篇「國際理科」的文章，其中討論了『平行光入射拋物線鏡面經反射後，為什麼會聚於焦點』這一問題，對我啟發良多。遙想當年為了準備保送生考試，突擊物理競賽（光學）時曾經考慮過這個問題，無奈時間緊迫就沒有花精力多想。今天看到此文眼前一亮，感謝作者 @雙木止月Tong 思路清晰的論述。同時也想發表一下我自己對這個問題的思考和淺見。

以下提出兩個相關問題並給出數學證明：

已知反射鏡面的形狀是拋物曲線，求證：平行於對稱軸入射的光線經反射後，其光路將會聚於焦點。

假設一束平新光射入一個凹面鏡，經反射後會聚於一點。請問：這個凹面鏡的形狀為什麼一定是拋物線？

說明：問題 1 即是前人文章所探討的內容。以下運用費馬原理結合幾何方法給出更加簡潔的證明。問題 2 是已知光路求鏡面的形狀，屬於數學物理中的反問題，與問題 1 有著本質的不同。不能透過簡單的類比得到結論，本人暫且有個不成熟的思路，拋磚引玉。

問題 1 的證明：

根據費馬原理：光在傳播的過程中總是走花費時間最少的路徑。這裡是同一種介質（空氣），因此最短時間就對應著最短路徑。

拋物線的幾何性質：拋物線上的每一點到焦點與準線的距離相等。

知道了這兩點我們就不難得到如下的證明，根據

光路可逆性

，我們只需說明每條從焦點出發的光線經過拋物線反射後都會變成平行光即可。

F 為拋物線的焦點，l 是準線。

假設光線從焦點 F 出發，經

拋物面反射

然後到達某點 A，考慮 F 點與 A 點之間的最短路徑。

我們要說明路徑一：

是最短的（BA 平行於 X 軸）；如果有另一條路徑二：

，那麼顯然有：

這就說明了從焦點出發的光線經過拋物線反射後一定會變成平行光，問題 1 證畢。

問題 2 的證明：

要證明具有將光線會聚成一點能力的凹面鏡一定是拋物線，只需說明鏡面上任何一點到定點與定直線的距離相等即可。

這裡的準線 l 是我們根據光路找到的！

如圖我們選定一條垂直於對稱軸的直線

（其實就是拋物線的準線），使得從 A 點入射的光線滿足

；我們接下來說明另一條從 A‘ 點入射的光線也一定滿足

。

首先有

（要求

垂直於光路，從而

四點組成了矩形）

事實上，還有

，這是由於垂直表面發出的平行光可以視作是從同一個無窮遠點 C 發出的（平面上的

平行線

相交於無窮遠點

）。利用「等光程面」的思想，從垂面出發的每一點經反射到焦點的

光程

相同。具體可以參見這篇專欄：章佳傑：光學系統像差雜談（1）：費馬原理

圖中

與

均是從等光程面到焦點的光路，因此距離相等。所以我們得到：

以上說明了鏡面上的任何一點滿足拋物線的幾何性質，問題 2 證畢。

結語

：中學的許多內容囿於教材和考試範圍的侷限，都無法展開來講清楚背後的原理和證明。這就需要我們持著懷疑求證的眼光來學習知識，而不是一味地接受書本和老師、放棄了自己的思考。在接觸到更高深的知識後如果回過頭看看，不免會產生嶄新的疑問和想法——這也是學習的樂趣所在。

筆者在此提出一個思考題：眾所周知，凸透鏡可以將光線經過折射會聚到焦點（注意是兩次折射！）。那麼請問：凸透鏡的形狀是什麼？它和凹面鏡一樣也是二次曲線嗎？凸透鏡兩個表面的方程可以是什麼樣的形式？如何進行理論推導？謝謝