對映

對映(mapping)

是兩個集合之間的對應關係

f:A\rightarrow B

表示非空集合

A

到非空集合

B

的一個對映。

A

稱為

定義域(domain)

，

B

稱為目標域（codomain/target），

f

稱為對應法則（relation）

\forall x \in A

，有唯一的

f(x)\in B

與之相對應。

x\mapsto f(x)

存在性、唯一性、封閉性

（畫Venn圖說明）

集合

\{f(x)|x\in A\}\subset B

稱為

值域(range)

{中。美，英}到{北京，華盛頓，莫斯科，倫敦}按“國家對應的首都”的對映

{-3，-2，-1，1，2，3}到{1，4，9}按“取平方”的對映

單射(injection)：

f:A\rightarrow B

稱為單射，若

\forall x,y\in A,x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)

滿射(surjection)：

f:A\rightarrow B

稱為滿射，若值域等於目標域（

\forall y\in B,\exists x \in A, s.t.f(x)=y

）

雙射(bijection)

：既是單射又是滿射（一一對應）

畫圖說明單射、滿射、雙射

雙射

f:A\rightarrow B

：

\forall y \in B

，有唯一的

x\in A

使得

y=f(x)

與之相對應。 這樣得到的對映

f^{-1}:B\rightarrow A, y\mapsto f^{-1}(y)

稱為

f

的

逆對映(inverse mapping)

兩個對映相等，若它們的定義域和對應關係相同

函式的定義及表示

初中對函式的定義：一個變化過程中的2個變數x，y，對x的每個值y都有唯一的值與之對應

當集合為數集（實數的子集）時，對映稱為

函式(function)

函式

y=f(x)

，

x

稱為

自變數(independent variable/argument)

，

y

稱為

因變數(dependent variable/function)

。 定義域記為

D_f

，值域記為

R_f\subset \bf R

。

求

f_1(x)=kx+b, f_2(x)=x^2,f_3(x)=\frac1x

的定義域，值域。 並判斷是否是單射、滿射、雙射

一個邊長為10的正方形紙裁掉4個小正方形，折成的長方體的體積與裁掉的邊長的函式關係

V=x(10-2x),\;x\in(0,10)

函式的表示：

解析法(顯式表示)、列表法、影象法

不是所有函式都能畫出影象

Dirichlet函式

f(x)=\begin{cases} 1& x\in \bf Q\\ 0& x\in \bf R-Q \end{cases}

分段函式(piecewise function)

在定義域的不同部分函式有不同的對應關係

定義域、值域取各分段的並集

符號函式

\mathrm{sgn}\;x= \begin{cases} 1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0 \end{cases}

絕對值函式

f(x)=|x|= \begin{cases} x& x\geq0\\ -x& x<0 \end{cases}

取整函式

f(x)=[x]= \begin{cases} ......\\ i&x\in[i,i+1)\\ ...... \end{cases}

隱函式(inplicit function)

：沒有給出明確的對應關係，而是給出一個方程

一般寫成

F(x,y)=0

x^2+y^2=1(x,y\in \bf R_+)

是圓在第一象限的部分，化成顯函式（explicit~）

y=\sqrt{1-x^2}

注意整個圓不是函式！Why？

含參函式(parametric function)

：沒有給出自變數和因變數的直接對應，而是藉助引數表達

\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}

從第一個式子反解出

t(x)

，代入第二個式子化成顯函式

還是圓的例子

\begin{cases} x=\cos\theta\\ y=\sin\theta \end{cases} ,\theta\in(0^\circ,180^\circ)

函式的運算

函式的和：函式

f(x),g(x)

在

D_f\cap D_g

上的和

(f+g)(x):=f(x)+g(x)

對勾函式=正比例函式+反比例函式

畫出

y=x+\frac4x

的影象，求定義域和值域

函式的

複合(composition)

：若函式

f(x),g(x)

滿足

R_f\subset D_g

，則它們在

D_f

上的複合

g\circ f(x)=g(f(x))

y=f(x),z=g(y)=g(f(x))

函式與自身複合

f(f(x))

常記為

f^2(x)

f(x)=ax+b,g(x)=x^2\Rightarrow g\circ f(x)=(ax+b)^2,f\circ g(x)=ax^2+b

反函式(inverse function)

：

逆對映

\rightarrow

反函式

y=f(x)

反解出

x

求反函式

反函式與原函式的影象關於

y=x

對稱

逆對映與原映射覆合得

恆等對映(identity)

f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_A

f^{-1}\circ f(x)=f\circ f^{-1}(x)=x

寫出以下函式的反函式：

f(x)=4x+1

，

g(x)=\frac1x

，

h(x)=3x^2\;(x\geq0)

f^{-1}(x)=\frac14x-\frac14

，

g^{-1}(x)=\frac1x

，

h^{-1}(x)=\sqrt{x/3}

函式的基本性質

單調性

增函式(increasing~)：

若區間

M\subset D_f

滿足

\forall x_1,x_2\in M,x_1>x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)

，則稱

f(x)

在區間

M

上

單調遞增

，

f(x)

是

M

上的

增函式

，

M

是

f(x)

的

(單調)增區間

函式隨自變數增大而增大

y=|x|

減函式(decreasing~)：

若區間

M\subset D_f

滿足

\forall x_1,x_2\in M,x_1>x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

，則稱

f(x)

在區間

M

上

單調遞減

，

f(x)

是

M

上的

減函式

，

M

是

f(x)

的

(單調)減區間

函式隨自變數增大而減小

求單調區間：定義法、影象法

寫出一次函式、反比例函式、二次函式、對勾函式的單調區間

複合函式的單調性：內外同增、內外同減為增；內增外減、內減外增為減（

同增異減

）

單調區間書寫時只能寫“和”不能寫“並”

奇偶性

奇函式(odd~)：

若

\forall x\in D_f,f(-x)=-f(x)

，則稱

f(x)

是奇函式。

奇函式的影象關於原點對稱

若奇函式

f(x)

在

x=0

處有定義，則

f(0)=0

偶函式(even~)：

若

\forall x\in D_f,f(-x)=f(x)

，則稱

f(x)

是偶函式。

偶函式的影象關於

y

軸對稱

證明奇偶性：定義法、影象法

奇函式：正比例函式、反比例函式、對勾函式

偶函式：常函式，絕對值函式

f(x)=|x|

，拋物線

f(x)=x^2

既奇又偶：

f(x)=0

非奇非偶：絕大部分函式

定義域相同的兩個函式：

奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=偶

偶函式在關於原點對稱的區間上單調性相同

奇函式在關於原點對稱的區間上單調性相反

週期性：

若

\exists T\ne 0

使得

\forall x\in D_f,f(x+T)=f(x)

，則稱

f(x)

是

週期函式(periodic function)

，

T

稱為

f(x)

的

週期(period)

若

T

是

f(x)

的週期，則按定義，

2T,3T,4T...

也是週期

若

f(x)

的週期裡一個最小的正數，則該數稱為

f(x)

的

最小正週期(fundamental period)

最小正週期不一定存在！

常函式是週期函式

三角函式是週期函式（後面會講）

最值：

最大值(maximum)：

若

\exists x_0\in D_f

使得

\forall x\in D_f,f(x)\leq f(x_0)

，則

f(x_0)=M

稱為

f(x)

的最大值，記為

f(x)_{max}=M

最小值(minimum)：

若

\exists x_0\in D_f

使得

\forall x\in D_f,f(x)\geq f(x_0)

，則

f(x_0)=M

稱為

f(x)

的最小值，記為

f(x)_{min}=M

最值不一定存在！

在講導數的時候會介紹另一個相似的概念——

極值

初中我們學過二次函式的最值

反比例函式沒有最值

介值定理(Intermediate Value Theorem)

：若

f(x)

在

[a,b]

上連續，則

f(x)

可以取到 。

f(a)

與

f(b)

之間的任意值。

零點存在性定理

：若

f(x)

在

[a,b]

上連續，且

f(a)·f(b)<0

，則

\exists x_0\in(a,b)

使得

f(x_0)=0

。

習題

求證Dirichlet函式是週期函式。 它是否有最小正週期？若有則求值，若沒有則說明理由