第一類

曲面積分

（對面積的曲面積分）的物理意義就是對於密度分佈不均勻的曲面要計算其質量。

第二類曲面積分（對座標的曲面積分）的物理意義是求流速場透過曲面 S 的流量， 也就是如何計算單位時間透過橫斷面流體的體積。

先來看一種非常理想的狀態：

假設水的流速 v ，

橫截面面積

為 S， 如下圖所示當流速的方向和截面的法方向平行（與截面垂直）時候， 則流量 = v·S

如果截面的法方向與流速方向不一致（有夾角）， 那透過該截面的流體流過的總量就會受到影響 - 實際上相當於計算

截面投影

的流量， 也就是流量為：

觀察下面動圖隨著截面的法方向與流速方向夾角不斷增大，

投影面

的流量逐漸變小， 在夾角為 90°時候， 流過截面的流量為 0 。

但在現實遇到的流量問題截面會呈各種曲面， 且在曲面 S 不同的位置有不同方向的流速， 那要計算透過

曲面流量

呢？

還是老辦法 -

分割取近似, 求和取極限

：

分割曲面中為很多小區域 -

曲面微元

dS， 因為非常非常小， 所以可以當做平面來進行處理， 並且將透過該區域的

流體速度

視為勻速。 觀察下動圖來理解這種思想。

對於每一個曲面微元 d

S

， 按照上面的思想將

向量函式

與切平面的法方向上做投影， 然後再做第一類曲面積分。

去掉問題的物理背景， 對於向量函式 F（f，g，h）， 平滑的曲面 r（u，v）=（x（u，v），y（u，v），z（u，v）） 而言：

上面就是製作的圖解高等數學第二類曲面積分例子。 好了， 現在讓我們在下一篇的中來看一看其他高數相關概念的動圖。

因為本人水平有限， 疏忽錯誤在所難免， 所以還請各位老師和朋友不吝賜教， 多提寶貴意見， 幫助我改進這個系列。 感謝關注！

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