我們回顧收斂性的定義

［1］

：

設

\left\{x_n\right\}

是數列，則

\left\{x_n\right\}

收斂是指存在

x\in\mathbb R,

使得對於任意

\varepsilon\in\mathbb R_+,

存在

N\in\mathbb N_+,

使得對於任意

n\in\mathbb N_+,

成立若

n>N,

則

\left|x_n-x\right|<\varepsilon.

也就是說，採取定義來描述某一數列的收斂性，需要你把具體的極限值求出來。

但是在很多問題中，我們關心的主要是收斂性本身，而具體的極限可能不好求，也不想求。之前對此的回答主要是單調有界收斂，但是單調性對於實際問題來說顯得太精確了，不符合很多問題的實際情況。這時就需要我們得到一種不需要求出極限的敘述收斂性的方法。

觀察收斂數列的特徵。當項數

n,m

充分大時，不僅每一項

x_n

與極限

x

充分接近，而且任意兩項

x_n,x_m

也應該是充分接近的。這就引導我們提出一個猜想：

設

\left\{x_n\right\}

是數列，則

\left\{x_n\right\}

收斂是指對於任意

\varepsilon\in\mathbb R_+,

存在

N\in\mathbb N_+,

使得對於任意

n,m\in\mathbb N_+,

成立若

n,m>N,

則

\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon.

接下來證明這個猜想是正確的，也就是說它和收斂的定義等價，即成立 Cauchy 收斂原理。

前一部分證明所需的技巧，在證明收斂性的代數性質時已經用過

［2］

。

若存在

x\in\mathbb R,

使得對於任意

\varepsilon\in\mathbb R_+,

存在

N\in\mathbb N_+,

使得對於任意

n,m\in\mathbb N_+,

成立

\left|x_n-x\right|<\frac{\varepsilon}{2},\quad \left|x_m-x\right|<\frac{\varepsilon}{2},

則成立

\left|x_n-x_m\right|\le\left|x_n-x\right|+\left|x_m-x\right|<\varepsilon.

後一部分證明可以利用有界數列必有收斂子列的結論。先說明數列有收斂子列，再說明數列和收斂子列有共同的極限。

若對於任意

\varepsilon\in\mathbb R_+,

存在

N\in\mathbb N_+,

使得對於任意

n,m\in\mathbb N_+,

成立若

n,m>N,

則

\left|x_n-x_m\right|<\frac\varepsilon2,

則不難驗證

\left\{x_n\right\}

有界，從而有收斂子列，記為

\left\{x_{n_k}\right\}.

記收斂子列的極限是

x,

則存在

K\in\mathbb N_+,

使得對於任意

k\in\mathbb N_+,

成立若

k>K,

則

\left|x_{n_k}-x\right|<\frac{\varepsilon}{2}.

注意到這裡的

K

可以取得更大，使得總是成立

n_k>N.

於是

\left|x_n-x\right|\le\left|x_n-x_{n_k}\right|+\left|x_{n_k}-x\right|<\varepsilon.

比如說，考慮數列

\left\{x_n\right\},

滿足

x_1=1,\quad x_{n+1}-x_n=\frac{\left(-1\right)^n}n,

為了判斷它的收斂性，不必求極限，只需注意到對於

N\in\mathbb N_+,

成立若

n>m>N,

則

\left|a_n-a_m\right|<\frac1m,

進而滿足 Cauchy 收斂原理的適用條件。我將完整的證明過程留作習題。

參考

^https：//zhuanlan。zhihu。com/p/133234487

^https：//zhuanlan。zhihu。com/p/138237220