微分 dx 究竟是一個數，還是一個極限過程？知乎使用者2015-09-16 10:31:22

當然不是一個數，微分其實是個函式。

在嚴格化以後（19 世紀後）的微積分理論中，導數、微分、積分的定義不會出現無窮小這種在牛頓時代含混不清的概念，所謂極限過程也是使用 ε-δ 語言描述的。

回到問題，你知道一元函式 y = f（x） 在一點 x0 的導數 f‘（x0） 是個極限，（f（x0 +δ） - f（x0）） / δ 的極限。說極限其實是定義，這個極限的值就是一個數。

導數值是一個實數。

如果對每個數 x0 都能找到導數值 f’（x0），導數就可以做為函式，寫成 f‘（x）。

導函式是關於自變數 x 的一元函式。

然後看微分，如果 f（x） 可導，那麼函式 y = f（x） 的微分就是 dy = d f（x） = f’（x） dx。這裡 dy 其實是一個二元函式，一個自變數是 x，另一個自變數是 dx。dx 除了記號沒有什麼特殊之處，所以這個函式你看成 d f（x） = g（x， w） = f‘（x） w 也是一回事。回想一下你的教材，

微分 dy 是關於 dx 的線性函式。

還考慮 x 的話，

微分是關於自變數 x 與自變數 dx 的二元函式。

最後因為每個可導的函式 f（x） 都能求微分 d f（x） 得到一個二元函式，所以 d 也是一個運算元，從一個可導的一元函式對映到一個二元函式，叫微分運算元。特別地，對於線性函式 f（x） = x，d f（x） = f’（x） dx = 1 dx = dx，即 d（x） = dx（公式左邊是對函式 x 求微分，右邊 dx 是一個普通變數）。這樣可以解釋為什麼可以在公式中不必區分 dx 是對 x 做微分還是把 dx 做普通變數。

微分運算元是從一元函式到二元函式的對映。

如上面所說，微分 d x 是一個二元函式，d x = g（x， dx） = dx，這個二元函式與它第一個自變數 x 無關，函式值等於它的第二個自變數 dx。

另一方面，在 d y = f‘（x） dx 這個公式中，左邊的 d 是微分運算元，右邊的 dx 是一個普通變數。

上面說的是一元微分的情況。多元微分則在向量上進行推廣，還是看書吧。或者看看百科：

Differential of a function

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提問者讓我補充是「狀態函式」還是「極限過程」。我只能說，在微分相關的近代數學定義這裡，本來不存在「過程」這麼一回事。當然，也沒有「狀態」這麼一回事。這些概念是為了幫助你從

直觀上想象

極限和微分定義用的，在數學中沒有它們的存在。

非要說的話，一元函式的微分不是一個數，也不是一個過程。它就是一個二元函式，也就是一個

\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb R

的對映。

其實我一開始就說了，來自於牛頓、萊布尼茨時代充滿幾何和物理直觀的古典微積分，裡面提到的無窮小量、極限過程，在 19 世紀分析學嚴密化以後都是邏輯上不必要的概念。所謂極限過程不再存在，只有 ε-δ 語言所描述的一個一階邏輯公式而已。比如說，所謂 f（x） 在點 x0 上的導數，就是滿足下面邏輯公式的實數 D：

(\forall \varepsilon) \left( \varepsilon >0 \Rightarrow (\exists \delta) \left( \delta > 0 \land (\forall h) \left( 0 < |h| < \delta \Rightarrow \left| \frac{f(x_0+h) - f(x)}{h} - D \right| < \varepsilon \right) \right) \right)

無非是一階邏輯公式的羅列，你在其中看到了什麼極限過程？從大到小還是從小到大？

有了一點導數定義任意點上導函式，有了導函式直接定義微分函式。僅此而已。

一元可導函式的微分是個二元函式，給定 x， dx 兩個自變數值，算出 dy 一個因變數值，就這麼簡單的東西。在二元函式這點上，它和 z（x，y） = x + y 這種沒有函式沒有差別。理解它是個二元函式，不需要考慮幾何直觀、物理直觀或者任何心理上的直觀，函式就是個對映，一個對應關係而已。這是數學的抽象。

微分 dx 究竟是一個數，還是一個極限過程？知乎使用者2015-09-16 13:49:30

微分是線性變換。

關於微分如果你只能記住一點，那麼請記住：微分=局域線性化。

微分 dx 究竟是一個數，還是一個極限過程？甄景賢2020-05-06 11:42:39

dx 和 dy 等 是一些線性函式（微分形式），這超越了一般「大1微積分」的內容，而且解釋起來不容易，要花很多功夫

Differential forms（微分形式）這概念 是法國數學家 Élie Cartan （1869-1951） 發明的，牛頓 到 高斯 的時代並不知道。 我不肯定在 Cartan 之前有沒有人分開寫 dy， dx 這樣的東西。

非常推薦這個答案：

微分符號 dx、dy 表示什麼含義？

微分 dx 究竟是一個數，還是一個極限過程？有丘直方2021-09-04 18:45:35

對於一元微積分的情形， 可以認為 dx 是微分流形 R 上的 1-形式。

微分 dx 究竟是一個數，還是一個極限過程？李三畏2021-11-16 21:48:53

複變函式的微分應該都是數。

證明：設C為複數集，y=f（x），x∈C，g為定義在C上的n元乘法運算，則由乘法對C的封閉性與f’（x）∈C∧dx∈C，有

dy=f‘（x）dx∧g：Cⁿ→C

⇒ f’（x）dx∈C

⇒ dy∈C

Q。E。D。

由於“極限過程”一詞太哲學，而非有嚴格定義的複變函式論術語，因而不妨暫不作討論。