我們之前的課程接觸最多的是模擬頻率f，包括在類比電路、高頻電路以及感測器課程上，都是以f作為頻率響應函式的橫座標。使用f的好處是其真實反映了實際系統的工作情況，從0到∞，反映了實際模擬訊號振盪速度的快慢。

模擬角頻率Ω=2πf，過去我們常將ω作為模擬角頻率，寫成cos（ωt），這種寫法實際上是不正確的，應該寫成cos（Ωt）來描述模擬餘弦函式。此時Ω的取值也是從0到∞，這體現出模擬（角）頻率沒有周期性的特點。

數字角頻率ω則是完全顛覆了我們過往對於頻率的認識，首先要明確的是數字訊號的獲得是透過對模擬訊號取樣的方式。它的引入可以從cos（Ωt）開始。cos（Ωt）中相位變化一個週期（2π）所需的時間為T，那麼模擬角頻率定義成Ω=2π/T。對於該餘弦訊號，取樣之後變成了一個離散的數字序列，此時再談論過了多少時間走完一個週期已經沒有意義，而是過了間隔N相位剛好變化一個週期。因此數字角頻率推匯出為ω=2π/N，餘弦訊號則為cos（ωn）。既然N是由對應一段時間T取樣而來，那麼N=T*Fs （Fs為取樣率），自然而然，ω=Ω/Fs。簡單來說，數字角頻率ω是模擬角頻率Ω對於取樣率Fs的歸一化，這是數字角頻率ω的核心要義。

由於數字訊號是透過抽樣而來，意味著只有在短暫的取樣視窗時間才能看到模擬訊號的取值，而其他情況下則是看不見的。我們將任意離散訊號表示為複數

，可以看出該訊號對於ω具有周期性，且週期為2π。這意味著數字角頻率相較於模擬角頻率而言，具有2π週期性。

e。g。 Fs=1Hz，Ω分別等於π/8和π*17/8，得到如下兩幅圖。可以看出雖然模擬角頻率Ω增加了2π，但由於取樣點數和取樣值都相同，所以實際的離散訊號是一回事。

正是因為數字訊號對於ω具有周期性，DSP才增加了額外的很多考慮：

1）DTFT、DFT是將數字訊號從時間域n轉為頻域ω，因此我們只轉為ω在［-π，π］區間內復指數訊號的疊加。（也可以考慮［0，2π］，不過由於ω=0和2π是低頻訊號，ω=π是高頻訊號，考慮［-π，π］更接近模擬訊號的頻譜分佈）

2）我們根據ω=Ω/Fs可知，從模擬角頻率到數字角頻率不只會落在［-π，π］，若轉為數字頻譜後其頻帶佔用超過了［-π，π］，則由於具有周期性，相互之間會產生混疊。我們要把頻譜ω限定在［-π，π］，則，

，

。這就是Nyquist取樣定理，過往我們是在模擬頻域內，考慮取樣訊號的模擬頻譜，以及如何透過頻域卷積實現訊號模擬頻譜搬移而不發生混疊，此時我們透過對數字頻域的分析也可以得到相同的結論。

3）第2點也成為我們在下采樣的時候需要注意的問題，必須要保證下采樣後的等效取樣頻率滿足Nyquist取樣定理，否則下采樣後的訊號會產生混疊。

4）在運用頻域取樣法設計IIR時，我們基於的AD/DA轉換就是上述的ω=Ω/Fs（雙線性變化法則不是）。上述說到模擬角頻率Ω是沒有周期性可言的，但是由於取樣率的限制（離散化），導致說數字角頻率ω具有周期性。從對映角度理解，數字角頻率［-π，π］在模擬角頻率上的對映是一對多的。取樣間隔T=1/Fs，在給定T時，數字角頻率ω受到的影響來源於以2π/T為單位的模擬角頻率Ω（Ω=ω/T）。為了使數字頻域不發生混疊，我們需要將模擬角頻率Ω框在［-π/T，π/T］，這在設計高通/帶阻數字濾波器時是複雜的，如下圖展示的用頻域取樣法設計高通FIR時所需要增加的裁剪步驟。

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