導數 dydx 是不是一個整體符號？

極速BigStone2020-03-07 15:59:44

dy/dx 作為導數的符號那麼它就是一個符號，是一個整體不可以分割，等價於 f‘或者df/dx之類。dy可以作為微分，表達的是dy=f’（x）dx，這裡dy，dx是微分，這兩個微分的比就是導數f‘（x）。微分方程裡面你要知道怎麼做切換，就是導數符號和微分的切換。

甄景賢2020-05-06 11:36:27

答案是： dx 和 dy 是可以分拆開來的，但這涉及到「微分形式」，超越了一般「大1微積分」的內容，而且解釋起來不容易，要花很多功夫

Differential forms（微分形式）這概念是法國數學家 Élie Cartan （1869-1951）發明的，牛頓到高斯的時代並不知道。我不肯定在 Cartan 之前有沒有人分開寫 dy， dx 這樣的東西。

非常推薦這個答案：

微分符號 dx、dy 表示什麼含義？

三川啦啦啦2020-05-09 00:48:18

一、微分

1。分離變數

首先，定義出發點不同：

$\frac{\text dy}{\text dx} \bigg{|}_{x=x_0}:=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}$

但是容易證明，一元函式

可導

與

可微

等價，於是

與

可以拆開解釋：

$A=\frac{\text dy}{\text dx}\ \Leftrightarrow\ dy=Adx$

這就是解微分方程時，分離變數的理論基礎。

2。流形上的導數

但是我們知道，當

是多元函式時，可微蘊含可導，但反之不然。可微和可導都關注到了

函式增量

關於某

自變數增量

的

近似線性增長關係

。

當考慮光滑流形

時，在一點

處的切空間

上討論是十分愉快的。

記

上的光滑函式集

$\mathcal{D}(M)$

，任取

$f\in \mathcal{D}(M)$

，考慮過

點的光滑曲線

$\alpha(t)$

，

$\alpha(0)=p$

，

$\frac{\text d}{\text dx}\bigg{|}_{t=0}(f\circ \alpha)=:\alpha$

全體

切向量

$\alpha$

構成切空間

，注意切向量是作為一個對映的存在：

$\alpha(0):\mathcal{D}(M) \rightarrow \mathbb{R}$

3。流形上的微分

作為向量空間，它存在一組天然的基。

設

$p\in U$

的座標卡

：

$X:\mathbb{R}^m \rightarrow M^m,\quad (x_1,...,x_m)\mapsto p$

此為微分同胚。透過切向量的定義，顯然座標曲線

$x_i: (-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M,\quad t\mapsto (x_1,...,x_{i-1},t,x_{i+1},...,x_m)$

誘匯出一個切向量

$X_i:=\frac{\partial}{\partial x_i}\bigg{|}_{0}$

，

$\left\{ X_i\right\}_{i=1}^{m}$

構成切空間

的一組基。於是所有切向量都可以被這組基線性張成

$\alpha$

切向量的定義是由光滑函式

$f:M\rightarrow \mathbb{R}$

誘導，

$\mathbb{R}$

可視為一維光滑流形；那麼對於對映到

維流形，

$\varphi: M^m\rightarrow N^n$

，同樣可以誘匯出

切對映

［1］

$\begin{CD} (-\varepsilon,\varepsilon)@>\alpha>>M@>\varphi>>N \\ &@AXAA & @AAYA\\ &&\mathbb{R}^m @>>Y^{-1}\circ\ \varphi \ \circ\ X>\mathbb{R}^n \end{CD}$

$\[ \begin{CD} (-\varepsilon,\varepsilon)@>\alpha$

其中

$i,\ j$

是線性同構，所以我們不加區別地對待

$d\varphi_p$

與

$d(Y^{-1}\circ\ \varphi \ \circ\ X)$

，前者簡潔，後者用於計算。

$Y^{-1}\circ\ \varphi \ \circ\ X(p)=(y_1(x_1,...,x_m),...,y_n(x_1,...,x_m))$

於是有切對映

$d\varphi_p:T_pM\rightarrow T_{\varphi(p)}N,\quad \alpha$

其中

$\beta$

於是該線性對映在座標卡

$(X,U),\ (Y,V)$

下的矩陣恰是

$Y^{-1}\circ\ \varphi \ \circ\ X$

的

矩陣。

二、積分

就像題主問的這類符號問題，比如

$\frac{dy}{dx}$

起初只是形式定義，但是隨著後面的數學家不斷最佳化理論，於是有機會對以前的符號進行再觀察。比如積分符號

$\int_U f\ dx$

，初始定義就是“分割求和取極限”，

就是區間分割的符號化，

$\int$

就是極限求和的符號化。但是現代數學對此又有了新的看法。無論是

還是

，都源於幾何微元（線、面）。我們將這種微元抽象，用其性質將其固定下來——線性是它的靈魂。

1。張量（tensor）

的“

”是什麼意思呢？第一反應是“

$\text {targent}$

”，畢竟是“切空間”嘛，但是在這裡理解為“

$\text {tensor}$

”也是可以的。這個想法了不得，瞬間

上的

張量從

［2］

豐富了起來：

$T^0M=T_0M=M\times \mathbb{R}$

$T_1M=\color{red}{TM}$

其中

是

的對偶空間，後面我們還會提到。張量就是線性函式的集大成者。

設

是向量空間，

張量

是一個

多重線性

函式：

$T:V\times...\times V\rightarrow \mathbb{R}$

由張量構成的集合記為

。顯然它是一個向量空間：

$a\in \mathbb{R}$

，

$(T+\tilde {T})(X_1,...,X_k)=T(X_1,...,X_k)+\tilde {T}(X_1,...,X_k)$

例如行列式就是典型的張量。

$\left\{ v_i \right\}_{i=1}^n$

列向量構成的

階方陣，回憶行列式的初等變換，其中就有多重線性性：

$\det (...,v_i+\tilde{v}_i,...)=\det (...,v_i,...)+\det (...,\tilde{v}_i,...)$

$\det (...,av_i,...)=a\det (...,v_i,...)$

張量積順便提一下：

$S\in T^k(V),T\in T^l(V)\Rightarrow S\otimes T \in T^{k+l}(V)$

，

$S\otimes T(v_1,...,v_{k+l})=S(v_1,...,v_k)T(v_{k+1},...,v_{k+l}).$

2。

行列式與體積

說起這行列式，就不得不說行列式和幾何的關係——平行多面的有向體積。

以下內容是我抄我自己寫的，但其實就是轉述大神的思想

［3］

（矩陣力 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎

https：//

zhuanlan。zhihu。com/p/52

821612

）：

由解析幾何的知識可知，行列式絕對值表示的是

維平行多面體的體積，即

$V_{2}=abs\left| \begin{array}{r} x_{1}&y_{1}\\ x_{2}&y_{2}\end{array} \right|$

$V_{2}$

表示向量

$(x_{1},y_{1})$

、

$(x_{2},y_{2})$

所圍成的平行四邊形面積；

$V_{3}=abs\left| \begin{array}{r} x_{1}&y_{1}&z_{1}\\ x_{2}&y_{2}&z_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{array} \right|$

$V_{3}$

表示

$(x_{1},y_{1},z_{1})$

、

$(x_{2},y_{2},z_{2})$

、

$(x_{3},y_{3},z_{3})$

所圍成的平行六面體體積；如果矩陣是對角陣，那麼意味著所求體積是一個（超）長方體體積。另外， Green 公式的退化版本也可由此初見端倪，考慮平面上一個包含原點、分段光滑的封閉曲線

，考慮一個以原點以及曲線上兩點為頂點微分三角形，

，

，那麼這個微分三角形的面積（這裡我們考慮有向面積，即面積可為負）：

$\Delta=\frac{1}{2}\left| \begin{array}{r} x&x+dx\\ y&y+dy\end{array} \right|=\frac{1}{2}(xdy-ydx)$

當我們把這些微分三角形“積”起來，就是曲線

所圍成區域

的面積。這就是 Green 公式——

$\iint \limits_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint\limits_C Pdx-Qdy$

令

$P=-\frac{y}{2}$

，

$Q=\frac{x}{2}$

的退化形式。

3。幾何微元與張量

透過行列式，我們將這兩者終於聯絡到了一起，成功迴歸主題。

行列式重要的性質——反交換性：

$\det (...,v_i,...,v_j,...)=-\det (...,v_j,...,v_i,...)$

我們定義這類張量稱為交錯張量，交錯張量的集合記為

$\Lambda^k(V^*)$

或

$\Lambda^k(V)\subset T^k(V)$

。

回到流形

上，

上的基是前文提到過的

$\left\{ \frac{\partial}{\partial x_i}\right\}_{i=1}^{m}$

，那麼在

上與之對偶的基

$\left\{ dx^i\right\}_{i=1}^{m}$

，這樣一來就瞬間理解的全微分公式：

$df=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}dx^i=\sum_i dx^i\left( \sum_j f_{x_j}\frac{\partial }{\partial x_j} \right)=\sum_i f_{x_i} dx^i\left( \frac{\partial }{\partial x_i} \right).$

這個時候回到積分學中的

$\text {Green - Stokes}$

公式，引入外微分：

我們稱

，

為 0 形式，也就是標量函式；形如

是 1 形式；形如

$R dx \wedge dy$

是 2 形式……外微分實際上就是從 k 形式到 k+1 形式的線性變換

$d:\Omega ^k\rightarrow \Omega ^{k+1}$

其中

$d:\Omega^0\rightarrow \Omega^1$

這個對映和普通微分沒有區別。關於外微分、楔積我就不多做介紹了，只要知道兩個性質就可以：

$dx \wedge dy=-dy \wedge dx \ \ \ \Rightarrow \ \ \ dx \wedge dx=0$

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge\eta+(-1)^k \omega \wedge d \eta$

利用上面性質，對

求外微分恰為

$\left( Q_x-P_y\right)dx\wedge dy.$

（格林公式——在你來之前我就已經… - 三川啦啦啦的文章 - 知乎

https：//

zhuanlan。zhihu。com/p/71

582821

）

由此誘匯出的

拉回對映

，

積分換元公式

等等就不說了。另外還有關於同調論

［4］

的事實：

$\begin{CD} 0@>d>>\Lambda^0 M@>d>>...@>d>> \Lambda^m M@>d>> 0 \end{CD}$

……

有了

$\text {de Rham}$

上同調群就可以理解很多事情了，諸如

$\text {Stocks}$

公式、

$\text {Poincare - Hopf}$

、定理

$\text {Guass - Bonnet}$

公式……但是我就不寫，諸君就看參考文獻吧。

總結

雖然我們可以用更先進的工具理解積分符號——將

$f\ dxdy$

視為張量、

形式，但這種理解始終是根植於基本幾何事實。雖然很多內容都是從書上搬運下來的，但是難免夾帶一點私貨，請大家多多指教。

楊樹森2020-05-10 11:36:41

我不喜歡微積分課上有關微分的講述，但是這並不意味著可以完全不講微分了。

希望學生能夠認識到，在符號

$\tfrac{\text dy}{\text dx}$

中，上下兩個

$\text d$

並不是同一個東西，雖然以後會發現在這裡使用同一個符號的好處。

為了強調這一點，寫為

$\tfrac{\text df\left(p\right)}{\text dx},$

將形式化的符號

函式

點

和函式值

$f\left(p\right)$

區別開。

設

是

$\left(a,b\right)$

上的可導函式，導數為

$\tfrac{\text df}{\text dx},$

形式化地定義

的微分是

$\text df,$

滿足

$\text df\left(p\right)=\frac{\text df\left(p\right)}{\text dx}\text dx.$

這種定義無需用到無窮小的階這樣複雜的預備知識，也不妨礙嚴格性。等到熟悉概念之後，就可以不再區分符號

和

以及

和

$f\left(x\right).$

並且我們知道一個很美好的結論，就是反函式的求導法則

$\frac{\text dx}{\text dy}=\left(\frac{\text dy}{\text dx}\right)^{-1},$

這是最終我們可以不必區分兩個

$\text d$

的原因。

有了這個定義，就可以更方便地做求解微分方程這樣的計算。例如

$\frac{\text dy}{\text dx}=xy,$

按照微分的寫法，得到

$\frac{\text dy}{y}=x\text dx,$

然後對兩邊求原函式，得到

$\ln y=\frac12x^2+C_1,$

再做適當的變換，就可以得到

$y=C\exp{\frac12x^2}.$

你可以自行驗算這是正確的，以及如果不統一符號，這個結果應該寫為

$f\left(p\right)=C\exp\frac12p^2.$

漏網之蟹2020-07-16 08:42:03

更新：

之所以寫這個答案，是因為看過很多答案將dx，dy理解成微分，然後來解釋微積分符號的含義。這樣解釋在我看來過於複雜——沒有說它們不對，而是複雜。

我之所以不願意在一元函式階段引入微分，就是因為我認為，引入「微分」來解釋過於複雜：

需要額外定義「微分」到底是什麼意思，然後會發現

涉及到偏導、導數，雅克比等等；若要講明白，最好畫幾個圖，因為這玩意的幾何含義之一就是從切空間到切空間的對映；最後的最後，出於嚴謹性，必須證明微分寫法能和在一元函式和極限定義等價。

——太複雜了喂！學個一元函式微積分，難道還需要入門微分幾何才能學嗎（#`O′）！

尤其是，當我翻開實分析課本的時候，鏈式法則也好、分離變數也好，這些證明完全沒有使用微分這個概念，直接就是將

$\frac{dy}{dx}$

視作一個整體符號，用極限的定義一口氣平推過去。

這充分說明，將

$\frac{dy}{dx}$

視作一個整體符號已經

足夠

處理一元函式的情況。不需要更復雜的幾何影象和其他的定義，也不需要學習流形，極限定義本身就足夠理解這些定理和定義了。這樣子，不需要接觸課外的額外概念，整個推導和理解也是流暢、自洽的。

我想說的——尤其是對於初學者——其實就是六個字：

可以，但不必要。

高贊對於微分形式等已經寫得很全面了，但是我想補充一點：

對於一元函式來說，我們不需要微分的概念來理解分離變數法等方法。

可以

，而且這種看法在微分幾何裡是

必須的

——但是對一元函式來說，

沒有必要。

類似的問題還有

換元積分法

和

鏈式法則

。他們都不需要微分形式去理解，直接用dy/dx的極限定義就可以。

先回答問題：在取導數時，建議將

$\frac{dy}{dx}$

視為

一個整體符號，

而不是一個商。

原因是定義：

。這個極限不是一個簡單的商，是不能拆開的。你把它寫成

$\operatorname{Diff}[f(x), x_0]$

是一樣的。

那接下來的問題是：為啥還能用分離變數解微分方程：

$\frac{dy}{dx} = f(x) \rightarrow \int dy = \int f(x) \, dx$

？看起來很像把dy和dx當做兩個單獨的量，乘開，再做積分。

——只是看起來。

這樣的理解方式

方便記憶

，但需要我們定義dx和dy的含義。然而，解可分離變數的微分方程

並不需要額外定義

dx和dy或者理解微分形式；只需要我們之前

$\frac{dy}{dx}$

的定義，和換元積分法即可。

定理：形如以下形式的一次常微分方程

$\frac{dy}{dx} = f(x)\cdot g (y)$

被稱作

可分離變數的微分方程

（其中y = y（x）是關於x的函式）。其通解為

$\int \frac{1}{g(y)}\, dy = \int f(x) \, dx + C$

。

證明：

考慮

$\frac{dy}{dx} = f(x)\cdot g (y)$

。兩邊同時除以

，有

$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx} = f(x)$

。

兩邊同時相對於變數x做積分：

$\int \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx} \, dx= \int f(x)\, dx$

注意到，由

換元積分法

，左側的積分為：

$\int \frac{1}{g(y(x))}\frac{dy}{dx} \, dx = \int\frac{1}{g(y)}\, dy$

。

所以有通解：

$\int \frac{1}{g(y)}\, dy = \int f(x) \, dx + C$

，C為積分常數。■

注意到，在整個證明裡，

沒有用到

任何單獨dx或者dy或者微分的概念：不需要微分的概念來證明+理解分離變數法。

常見的誤區還有

換元積分法

和

鏈式法則

：它們同樣

不需要

用微分去理解，直接用dy/dx和積分的原本定義就可以證明。

本來只想寫換元積分法的證明，但是證明本身用到了鏈式法則的證明。。。好煩躁，所以一次性都寫了。不想看跳到最後就可以。

換元積分法：

虛假的換元積分法（不是）：

$dy = \frac{dy}{dx}dx$

；

真實的換元積分法：

定理：

讓

$y:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$

，且y在［a， b］上有導數；讓

為包含

的閉合區間；考慮可積的連續方程

$f:I\rightarrow \mathbb{R}$

。則有：

$\int_{y(a)}^{y(b)} f(u) \,\mathrm{d} u=\int_{a}^{b} f(y(x)) y$

，其中

$u \in I$

。

不定積分形式不想寫（不是）

這一長串就是上面那幾個符號的完整版。

證明：

讓F（x）為f（x）的反導數。由鏈式法則：

。

使用微積分基本定理：

$\int_{a}^{b} f(y(x)) \frac{dy}{dx} \, \mathrm{d} x = F(y(b)) - F(y(a))$

然而

$\int_{y(a)}^{y(b)} f(u) \,\mathrm{d} u = F(y(b)) - F(y(a))$

證畢■

再次注意：在整個證明裡，

沒有用到

任何單獨dx或者dy或者微分的概念：不需要微分的概念來證明換元積分法。

鏈式法則

虛假的鏈式法則：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

；

真實的鏈式法則：

定理：考慮

$f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}, \; g(c, d) \rightarrow \mathbb{R}$

並且滿足

$f(a, b) \subset (c, d)$

。如果

在

處可微，並且

在

處可微，則

$h(x) = g(f(x)) = g\circ f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$

在

處是可微的，且

。

讓

，就會發現上面的形式就是這一長串的簡化版。

在討論鏈式法則的證明的時候，常見的說法就是把du消掉——不是的！類似

$\frac{dy}{dx}$

這樣的符號是一個整體！整體！看定義啊！

正式的證明：

讓

。定義以下兩個方程：

$F(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} , x \neq x_0\\ f$

注意到，F（x）和G（y）在

或

可微，因此F（x）和G（y）都是連續的。

並且，對於所有

$x \in (a, b)$

並且

$x \neq x_0$

，我們有：

$\frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = \frac{g(f(x) - g(f(x_0))}{x - x_0} = G(f(x)) F(x)$

證明這個等式，需要分情況來討論：

當

$f(x) \neq f(x_0)$

時，直接用F（x）和G（y）的定義就可以；

當

時，

$\frac{g(f(x) )- g(f(x_0))}{x - x_0} = 0$

，

，等式成立。

好的，現在直接用

導數的定義

：

因為F和G都是連續函式，我們有

$\lim_{x\rightarrow x_0}G(f(x)) F(x) = g$

。

證畢■

再再次注意：整個證明

沒有用到

dx， dy， df， dg等等微分定義，而是純粹用極限、連續性和導數的定義——把dy/dx看做一個整體——來證明的。

總結：

在初學微積分裡，尤其是對於一元函式來說，我們不需要藉助微分形式和流形等概念來證明、理解分離變數法、換元法、鏈式法則等等。將dy/dx視作一個整體就能證明這些方法。

所謂的「將dx，dy乘開之後處理」只是一種

形式上

的理解，方便記憶，但是不是證明方法。由於dy/dx定義的出發點，這個符號是

一個整體

，而不是一個可以拆開的東西。

微分形式、流形等等概念依然十分重要：之所以定義這些概念，是因為我們想在各種各樣千奇百怪的幾何上繼續愉快地微積分；它們的定義也自然的包含了一元函式的情況——事實上，可以將微分的定義視作dy/dx的擴充套件。

然而——重要的事情說三遍——對於一元函式來說，不需要微分形式來證明這些分離變數法、鏈式法則等方法。可以用微分來理解，但不是一定要用微分來證明。

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