第十二天（20,11,19）：分部積分法（上）

昨天我們提到了分項積分法：

我們可以解決大部分的真分式積分，但對於另一個部分，我們還是得依靠今天要講的：

分部積分法

首先，根據乘積的微分法則：

。

該式子中

的原函式顯然是

，所以得到公式：

$\int u d v = u v - \int v d u$

。這個公式就是分部積分法則，也是分部積分法的基本公式。

如果

都是

的函式，

則上式可寫成：

${ \int f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) }{ - \int g ( x ) f^ { \prime } ( x ) d x }$

。

例如：

求積分 #FormatImgID_8# .

令：

$u = x , d v = \operatorname { cos } x d x$

，於是：

$d u = d x , v = \operatorname { sin } x$

。

按照上式，就有：

${ \int x \operatorname { css } x d x = \int x d \operatorname { sin } x }{ = x \operatorname { sin } x - \int \operatorname { sin } x d x }{ = x \operatorname { sin } x + \operatorname { cos } x + C }$

。

分部積分法把求

的較難積分問題變為求

的較簡單積分問題。在求

時，必須求

的積分，故稱分部積分。

分部積分法的要點在於把積分

$\int udv$

變成比它更容易的積分

$\int vdu$

。如果不是這樣，那就要重新考慮了。因此，在應用分部積分法時，在被積函式中選取哪―部分作為

，哪一部分作為

是很重要的。像上例中，如果取

作為

，而把

作為

，顯然就不合適了。

分部積分法的推廣公式：

重複使用分部積分法則，可以得到分部積分法的推廣公式。假定函式

和

在所考慮的區間上有直到

階的連續導數：

$u ^ { \prime } ， u ^ { \prime \prime } ，u ^ { \prime \prime \prime } ，\cdots ， u ^ { ( n ) } ， u ^ { ( n + 1 ) }$

$v ^ { \prime } ， v ^ { \prime \prime } ，v ^ { \prime \prime \prime } ，\cdots ， v^ { ( n ) } ， v ^ { ( n + 1 ) }$

那麼對

$\int u d v = u v - \int v d u$

用

$v^ { ( n ) }$

來代替

，則有：

${ \int u v ^ { ( n + 1 ) } d x = \int u d v ^ { ( n ) } = u v ^ { ( n ) } - \int v ^ { ( n ) } d u }{ = u v ^ { ( n ) } - \int u ^ { \prime } v ^ { ( n ) } d }x$

。

同樣的，也有：

$\int u ^ { \prime } v ^ { ( n ) } d x = u ^ { \prime } v ^ { ( n - 1 ) } - \int u ^ { \prime \prime } v ^ { ( n - 1 ) } d x$

$\int u ^ { \prime \prime } v ^ { ( n-1 ) } d x = u ^ { \prime\prime } v ^ { ( n - 2 ) } - \int u ^ { \prime \prime\prime } v ^ { ( n - 2 ) } d x$

$\dots$

$\int u ^ { ( n ) }v ^ { \prime } d x = u ^ { ( n ) } v - \int u ^ { ( n +1 ) }v d x$

將最後的公式逐步往前代入，就可得到：

$\int u v ^ { ( n + 1 ) } d x = u v ^ { ( n ) } - u ^ { \prime } v ^ { ( n - 1 ) } + u ^ { \prime } v ^ { ( n - 2 ) }-\cdots+ ( - 1 ) ^ { n } u ^ { ( n ) } v + ( - 1 ) ^ { ( n + 1 ) } \int u ^ { ( n + 1 ) } v d x$