實分析學習筆記(0)

之前的學習筆記在撰寫的時候當然也遇到了許多的困難，但是從這裡開始，真正的惡龍開始出現了，就是實分析。抽象的定義和證明，伴隨著把直覺砸得粉碎，就是我開始自學這門課時得到的第一印象。為什麼我要跑到數學學院來學習如此困難的東西呢？大概是因為中二病吧（

總之，讓我們開始斬殺惡龍吧！（震聲）

教材：

Real Analysis,H.L.Royden,P.M.Fitzpatrick

序章：集合論，實數，連續函式

1。集合

一個集合

上的

關係

是指集合

$X\times X$

的子集。如果

$(x,y)\in R$

，記為

。我們可以方便地定義自反性，對稱性和傳遞性，這些都是熟悉的。如果一個關係滿足以上三個性質，稱它是

等價關係

。兩兩等價的元素組成的集合叫做

等價類

，等價類的集合叫

等價類族

。如果兩個集合之間存在一一對映，我們稱兩個集合

對等

。對等是等價關係。一個集合的冪集

中對等關係的等價類族叫做集合的

勢

。

令

$\mathcal F$

是非空集合的非空集合族。如果函式

$f:\mathcal F\to\bigcup_{F\in\mathcal F}F$

滿足：對任意

$F\in\mathcal F,f(F)\in F$

，則被稱為是

$\mathcal F$

的一個

選擇函式

。下面的

選擇公理

在文章中將被視為數學大廈的地基之一：

公理

選擇函式總是存在。

與這條公理等價的是Zorn引理，為了突出重點我們不給出證明了。

定理(Zorn)

如果偏序集

的每個全序子集一定有上界，則

有最大元。

其中

偏序關係

定義為滿足下面命題的集合

上的關係：

。裝載偏序關係的集合叫

偏序集

。如果對每組

，

至少有一個成立，則稱

為

全序集

。在

中如果存在

使得

$xRx_0,x\in E$

總是成立，則稱

為

的

上界

。如果使得

成立只有

，則稱

為

的

最大元

。

2。實數

如果在數學分析中學習過實數理論，那大多是從自然數出發構造出有理數，然後再利用有理數構造實數。比如說，

自然數

是符合Peano公理的一系列實數，加上零元素和加法逆元素得到

整數

。整數集合是一個整環，它可以誘導一個分式域，也就是

有理數域

。接下來的工作就會用到分析相關性質，比如利用有理數Cauchy列之間的等價關係構造實數（就是一個商域），或者用Dedekind分割。

但是這本書會用到一些不同的辦法，它先承認實數集的存在（由一系列公理限制），然後再由此給出我們熟悉的實數集的那些子集。

實數集

$\mathbb R$

是滿足下面所有法則的帶有加法和乘法運算的集合：

a。域公理

（1）加法交換律

（2）加法結合律

（3）加法零元

$\exists0\in\mathbb R,a+0=0+a=a,\forall a\in\mathbb R$

（4）加法逆元

$\forall a\in\mathbb R,\exists b\in\mathbb R,a+b=0$

（5）乘法交換律

（6）乘法結合律

（7）乘法單位元

$\exists 1\in\mathbb R,a1=1a=a,\forall a\in \mathbb R$

（8）乘法逆元

$\forall a\in\mathbb R\backslash\{0\},\exists b\in\mathbb R,ab=1$

（9）乘法分配律

（10）非平凡性假設

$1\neq 0$

（最後一個為什麼必要？）

b。正性公理

存在

$\mathbb R$

的子集

$\mathcal P$

，稱為

正數集

，其中的元素稱為是

正的

，滿足

（1）

$a,b\in \mathcal P\Rightarrow a+b,ab\in\mathcal P$

（2）

$a=0,a\in\mathcal P,-a\in\mathcal P$

恰有一個成立。

定義

的意義是

是正的，或者

$a-b\in\mathcal P$

。

意味著

，以及

$a\geq b,a\leq b$

等。這樣建立了實數集上的全序。

c。完備性公理

實數集定義了序以後自然就有上界的概念（定義為關係

$\leq$

的上界），類似有下界。

完備性公理

是說：

設

為有上界的非空的

$\mathbb R$

的子集，則在

的上界構成的集合中存在一個最小元。

這樣我們可以自然地定義

上確界

$\sup E$

和

下確界

$\inf E$

。

這一大坨便是實數得以存在的基礎。大家可以自行練習，從公理推出我們熟悉的性質。

一個

$\mathbb R$

的子集

稱為是

歸納集

，如果

$1\in E$

且

$x\in E\Rightarrow x+1\in E$

。定義

自然數集

$\mathbb N$

為一切歸納集的交集。容易證明它是歸納集，且最小元為

。

定理(歸納原理)

設

為一列命題（

$n\in\mathbb N$

），滿足

為真，且

為真推出

為真，則對任何

$n\in\mathbb N$

都有

為真。

證明：因為

$A=\{k\in\mathbb N|S(k)\ \mathrm{is\ true}\}$

是歸納集，所以

$\mathbb N\subseteq A$

。

$\square$

定理(最小數原理)

任何自然數集的非空子集

有最小元。

證明：注意到

為一個下界，由完備性公理知

$c=\inf E$

存在。這樣

不是下界，也就存在

$m\in E$

使得

。我們斷言

為最小元。否則，存在

$n\in E$

使得

，從而

$c\leq n<m<c+1$

，得到

。也就是說，

$m\in (n,n+1)$

。

下面我們證明，對任何

$n\in\mathbb N$

都有

$(n,n+1)\cap\mathbb N=\varnothing$

。用歸納法。先證明

$(1,2)\cap\mathbb N=\varnothing$

。否則取

$a\in (1,2)\cap \mathbb N$

，我們考察集合

$F=\mathbb N\backslash\{a\}$

。如果該集合為歸納集，則與

$\mathbb N$

的定義矛盾；否則，存在

$c\in F$

使得

$c+1\notin F$

。而

$c\in\mathbb N$

推出

$c+1\in\mathbb N$

，所以

，這不可能是

$\mathbb N$

的成員。歸納遞推留給讀者作為習題。

上述命題說明

$m\in (n,n+1)$

實際上是不可能的，從而

確實是最小元。

$\square$

定理(Archimedes)

對任何正實數

，存在自然數

使得

。

證明：令

$c=\frac ba>0$

。如果命題不真，則

為

$\mathbb N$

的上界。由完備性公理知道存在

$c_0=\sup\mathbb N$

。這樣

不是上界，存在

$n\in\mathbb N$

使得

，也就是

。而

$n+1\in\mathbb N$

，這與

的定義矛盾。

$\square$

有了自然數集，就可以愉快地定義

整數集

$\mathbb Z$

和

有理數集

$\mathbb Q$

，就像我們想的一樣：整數集合是自然數集及其相反數集，還有

的並集；有理數集是整數的商的集合。

利用Archimedes性質還可以證明下面的定理：

定理(稠密性)

任何兩個不相等實數之間存在有理數。

之前提到了集合對等的概念。由歸納法可以證明

定理(抽屜原理)

集合

$\{1,\cdots, n+m\}$

與

$\{1,\cdots, n\}$

不對等，

$n,m\in\mathbb N$

。

這裡

$\{1,\cdots,n\}$

是

$\{k\in\mathbb N|1\leq k\leq n\}$

的另一寫法。

如果集合

與某個

$\{1,\cdots,n\}$

對等，則稱

為

有限集

；如果

與

$\mathbb N$

對等，稱

為

可數無窮集

。二者統稱

可數集

。

$\{1,\cdots,n\}$

或

$\mathbb N$

到可數集

的對映

稱為

的一個

列舉

，常用數列表記之。除此之外的集合稱為

不可數集

。

下面的定理都不難證明：

定理

可數集的子集依然可數。

定理

非空集合可數當且僅當它是某個非空可數集合上對映的象。

定理

可數集的可數並依然可數。

接下來這個結論的證明方法或許有用：

定理

區間不可數。

證明：考察區間

，顯然它不是有限集。假設是可數無窮集，則它有一個列舉

$I=\{x_n|n\in\mathbb N\}$

。

我們構造一列區間

，滿足：

$[a_1,b_1]\subseteq I,[a_{n+1},a_n]\subseteq[a_n,b_n],x_n\notin[a_n,b_n]$

。非空集合

$E=\{a_n|n\in\mathbb N\}$

有上界

，從而存在上確界

。這樣

$a_n\leq x^*$

。另外，由於

$a_n\leq b_n$

總是成立，所以

$x^*\leq \inf\{b_n\}\leq b_n$

。從而

$x^*\in [a_n,b_n]$

永遠成立；另一方面，存在

$n_0\in\mathbb N$

使得

$x^*=x_{n_0}$

，所以

$x^*\notin[a_{n_0},b_{n_0}]$

，矛盾。

$\square$

整完這些再來回顧一下實數集上的拓撲。一個實數集合

$\mathcal O$

被稱為

開集

，如果對任意

$x\in\mathcal O$

，存在

使得

$(x-r,x+r)\subset\mathcal O$

。開集的有限交是開集，任意多的並也是開集。

定理(開集結構定理)

任何開集是可數個不交開區間的並。

對實數集

和

$x\in\mathbb R$

，如果任何包含

的開區間都包含

的成員，則稱這樣的

構成的集合為

的

閉包

，記為

$\overline E$

。如果

$E=\overline E$

，稱

為

閉集

。開集的補集是閉集。

開集的族

$\mathcal F$

稱為是集合

的一個

開覆蓋

，如果

$E\subseteq\bigcup_{F\in\mathcal F}F$

。如果

$\mathcal F$

是有限集，稱其為

有限覆蓋

。

定理(Heine-Borel)

任何有界閉集的開覆蓋有一個有限子覆蓋。

集合族

$\{E_n\}$

稱為是

下降的

，如果

$E_{n+1}\subseteq E_n$

。反過來可以定義上升的

集合族

。

定理(閉集套定理)

$\{F_n\}$

為下降的有界閉集族，則

$\bigcap_{n=1}^\infty F_n\neq\varnothing$

。

證明：假設命題不真，令

$\mathcal O_n=\mathbb R\backslash F_n$

為開集，則

$\bigcup_{n=1}^\infty\mathcal O_n=\mathbb R$

為一個開覆蓋，當然是

的開覆蓋。由Heine-Borel定理，存在

$k_1<\cdots<k_N$

使得

$F_1\subseteq\bigcup_{i=1}^N\mathcal O_{k_i}=O_{k_N}$

。也就是說

$F_1\cap F_{k_N}=\varnothing$

，這不可能。

$\square$

接下來有一個對實分析更為重要的概念。給定集合

，

的子集族

$\mathcal A$

被稱為是一個

$\sigma$

代數

，如果（1）

$\varnothing\in\mathcal A$

；（2）

$B\in\mathcal A\Rightarrow A\backslash B\in\mathcal A$

；（3）對任意可數族

$\{A_n\}\subseteq\mathcal A$

，成立

$\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal A$

。

如果第三個條件只對有限集合族滿足，則叫做

代數

。

對一個可數集合族

$\{A_n\}$

，可以定義其

上極限

和

下極限

：

$\limsup\{A_n\}=\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=k}^\infty A_n,\liminf\{A_n\}=\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=k}^\infty A_n$

。

如果

$\{A_n\}$

包含於一個

$\sigma$

代數

$\mathcal A$

，則其上下極限也是

$\mathcal A$

的元素。

考察所有實數集上的開集，以及包含所有這些開集的所有

$\sigma$

代數的交集。這是最小的包含所有開集的

$\sigma$

代數，稱為是

Borel集族

，記為

$\mathcal B$

。其中的元素叫做

Borel集

。

由定義容易推出開集和閉集都是Borel集。開集的可數交叫做

$G_\delta$

集合，並集的可數並叫做

$F_\sigma$

集合。這些集合都是Borel集。另外，開集或閉集的可數族的上下極限也是Borel集。

3。連續函式

設

為實數集，

$x\in E$

，

$f:E\to\mathbb R$

稱為在

連續

，如果對任意

$\varepsilon>0$

都存在

$\delta>0$

，使得只要

，就有

。如果對任何

$x\in E$

都連續，則稱是

上的

連續函式

。這裡不再重複那些老調，只是證明一個新鮮的定理：

定理

設

$f:E\to\mathbb R$

為一個函式，則它是連續的等價於對任意開集

$\mathcal O$

都有

$f^{-1}(\mathcal O)=E\cap\mathcal U$

，

其中

$\mathcal U$

為某個開集。

證明：（充分性）令

$x\in E$

，考察開集

$I=(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)(\varepsilon>0)$

，則存在開集

$\mathcal U$

使得

$f^{-1}(I)=E\cap\mathcal U$

。這樣

$f(E\cap \mathcal U)\subseteq I$

，且

$x\in E\cap\mathcal U$

。注意到

$\mathcal U$

是開集，存在

$\delta>0$

使得

$(x-\delta,x+\delta)\subseteq \mathcal U$

。這樣足以證明連續性。

（必要性）如果是連續的，假設

$\mathcal O$

為開集，

$x\in f^{-1}(\mathcal O)$

，則

$f(x)\in \mathcal O$

，即存在

$\varepsilon>0$

使得

$(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)\subseteq\mathcal O$

。由連續性，存在

$\delta>0$

使得只要

就有

。令

$I_x=(x-\delta,x+\delta)$

。現在令

$\mathcal U=\bigcup_{x\in f^{-1}(\mathcal O)}I_x$

，

則它是開集，且要求的命題成立。

$\square$

習題

1。證明有理數稠密性。

2。證明抽屜原理。

3。證明可數集的可數Decarles積不可數。

4。證明開集是

$F_\sigma$

集。

5。證明Borel集族是包含所有形如

的區間的最小

$\sigma$

代數。

6。求函式

$f(x)=\begin{cases}x,x\in\mathbb R\backslash\mathbb Q\\ p\sin\displaystyle\frac1 q,x=\frac pq,\gcd(p,q)=1\end{cases}$

的連續點。

7。

上的連續函式

$\phi$

稱為是

分段線性的

，如果存在

$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$

，使得

$\phi$

在區間

$[x_i,x_{i+1}](i=0,\cdots,n-1)$

是線性函式。令

$f:[a,b]\to\mathbb R$

為連續函式，

$\varepsilon>0$

。證明存在分段線性函式

$\phi$

使得

$|f(x)-\phi(x)|<\varepsilon,\forall x\in [a,b]$

。

8。令

為域

上的線性空間，證明

的極大線性無關子集存在。（Hint：Zorn引理）

小蜜蜂問答

小蜜蜂問答

實分析學習筆記(0)

推薦文章

小蜜蜂問答

小蜜蜂問答

實分析學習筆記(0)

相關文章

大基數是指多少？

無理數指數冪的具體含義是什麼？或者說這個運算具體是怎麼個運算？又問為什麼有理數指數冪的法則也對無理數？

為什麼根號負一不是i

“真理掌握在少數人手中”是悖論嗎？

推薦文章