sin2x2sinxcosx 2009-07-11

你學過微積分麼？

設y=（cosx+isinx）/（e^（ix）） （顯然e^（ix）=/=0）

y‘=（e^（ix）*（-sinx+icosx）-ie^（ix）*（cosx+isinx））/（e^（2ix））

=0

所以y是常函式，設y=c，

當x=0時，y=（cos0+isin0）/（e^（i0））=1

所以c=1，y恆等於1，

所以cosx+isinx==e^（ix）

網友5bd0bbe92 2009-07-10

你學過複變函式後可以證明：

e^x的泰勒級數和實數一樣（x是複數）：

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+。。。+x^n/n！+。。。

e^ia=1+（ia）+（ia）^2/2！+（ia）^3/3！+。。。+（ia）^n/n！+。。。

=（1-a^2/2！+a^2/4！-a^6/6！+。。。+（-1）^na^2n/（2n）！。。。）

+（ia+（ia）^3/3！+（ia）^5/5！+。。。+（ia）^（2n+1）/（2n+1）！。。。）

=（1-a^2/2！+a^2/4！-a^6/6！+。。。+（-1）^na^2n/（2n）！。。。）

+i（a+（i^2）a^3/3！+（i^4）a^5/5！+。。。+（i^2n）a^（2n+1）/（2n+1）！。。。）

=（1-a^2/2！+a^2/4！-a^6/6！+。。。+（-1）^na^2n/（2n）！。。。）

+i（a-a^3/3！+a^5/5！+。。。+（-1）^na^（2n+1）/（2n+1）！。。。）。。。①

三角函式泰勒級數和實數時一樣（a是複數）：

cosa=1-a^2/2！+a^4/4！+。。。+（-1）^na^2n/（an）！+。。②

sina=1-a^3/3！+a^5/5！+。。+（-1）^na^（2n+1）/（2n+1）！。。③

比較①，②，③，cosa+isina=e^ia成立