前天收到一個很有意思的問題邀請，內容如下：

電視臺抽獎遊戲，主持人提供三張背景完全一樣的牌

a

、

b

、

c

，其中只有一張有獎，主持人讓嘉賓選擇其中一張牌，比如嘉賓選了

a

，在嘉賓選擇完以後，注意是選擇完以後，翻開了

c

牌，告訴嘉賓

c

牌確定沒有獎（主持人知道哪張有獎，所以一定會翻開沒中獎的牌），問嘉賓是否要將手中的牌從

a

更換為

b

。

請從機率角度分析嘉賓是否換牌。

原問題連結：

其實該問題只是一個著名機率問題換了種說法而已。該類問題通常稱為“

蒙蒂·霍爾問題(Monty Hall Problem)

”

［1］

或“

三門問題

”。

蒙蒂·霍爾

（1921年8月25日－2017年9月30日，生於溫尼伯）

［2］

，加拿大演員，歌手和運動員，美國電視有獎競賽節目的主持人。他從1963年到1986年長期主持《Let‘s Make a Deal》節目。

托馬斯·貝葉斯告訴你: 怎樣才能更容易中獎？

蒙蒂·霍爾 （1921。8。25－2017。9。30） （圖片來源：Wikipedia）

在他主持的一次電視節目中，有一個有獎遊戲的規則如下：

有一輛汽車和兩隻山羊分別藏於三扇門背後。

參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裡有什麼。

主持人知道每扇門後面有什麼。

主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。

主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。

參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

為了

使得贏得汽車的可能性最大

，就引出瞭如下論述：

你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門後面有什麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問你：“你想選擇二號門嗎？”轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？

雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺。因為，如果選手選擇換門，贏得汽車的機會將會加倍。

托馬斯·貝葉斯告訴你: 怎樣才能更容易中獎？

“蒙蒂·霍爾/三門問題”（圖片來源：Wikipedia）

圖解：

托馬斯·貝葉斯告訴你: 怎樣才能更容易中獎？

圖片來源：Wikipedia

這個問題還有一個非常直觀的理解：

如果參賽者

換

的話，那麼參賽者會在最初選擇是錯誤的時候獲得汽車；

如果參賽者

不換

的話，那麼參賽者會在最初選擇是正確的時候獲得汽車。

前者的機率是

\frac{2}{3}

，後者的機率是

\frac{1}{3}

。

貝葉斯條件機率計算解法：

在計算機率的時候必須要知道問題的

全集

，該全集包含了所有可能發生的情況，所有情況發生的機率加起來應當等於

1

。

回到文章最開始的翻牌抽獎問題

，如果主持人沒有翻開

c

。那麼不論選擇

a

、

b

、

c

，中獎的機率都是

\frac{1}{3}

，那麼全集就是

P(a)+P(b)+P(c)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1

。

而主持人翻開

c

門之後，這個全集又是什麼呢？

通常的想法是

P(a)+P(b)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

。但是按照該計算思路，主持人問的就不應是要不要換，而是在

a

和

b

中再重新選擇一次。

主持人問的是

要不要換

，這裡全集應該是“

P(換會中獎)+P(不換會中獎)=1

”，這與

P(a)+P(b)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

有本質的區別。但導致這兩種全集計算結果不同的根本原因是

：“主持人知道哪張牌有獎”

。

下面分別就“

主持人隨機選

”和“

主持人有目的的選

”來計算選手的中獎機率：

貝葉斯

［3］

公式

是關於條件機率的公式，通常，事件

A

在事件

B

發生的條件下發生的機率，與事件

B

在事件

A

發生的條件下發生的機率是不一樣的。然而，這兩者是有確定的關係的，貝葉斯定理就是這種關係的陳述。貝葉斯公式的一個用途在於透過已知的三個機率函式推出第四個。

托馬斯·貝葉斯告訴你: 怎樣才能更容易中獎？

Thomas Bayes （1701 - 1761） （圖片來源：Wikipedia）

假設有兩個事件

A

和

B

，可以根據事件

A

發生的情況下事件

B

發生的機率，去求得事件

B

發生的情況下事件

A

發生的機率。其公式表述為：

P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline A)P(\overline A)}

其中

A

表示事件

A

發生，

\overline A

表示事件

A

不發生；

P(A)

表示

A

發生的機率，

P(\overline A)

表示

A

不發生的機率。

P(A|B)

表示事件

B

發生的情況下，事件

A

發生的機率；

P(B|A)

表示事件

A

發生的情況下，事件

B

發生的機率； 而

P(B|\overline A)

表示事件

A

不發生

的情況下，事件

B

發生的機率 。

跳開

a

，

b

，

c

編號的制約（注意這裡牌的編號是

小寫

，與後面表示“事件”的大寫字母區分），

把選手和主持人的選擇牌分別看成事件

A

和事件

B

。

假設

選手選擇了一張有獎牌為事件

A

；

主持人選擇了一張有獎牌為事件

B

。

P(A)

表示選手選擇牌有獎的機率，

P(\overline A)

表示選手選擇牌沒有獎的機率，選手面臨的問題用貝葉斯公式描述為：

P(A|\overline B)=\frac{P(\overline B|A)P(A)}{P(\overline B|A)P(A)+P(\overline B|\overline A)P(\overline A)}

即，按照題目意思是：

希望知道事件

\overline B

(主持人選擇的牌沒獎)發生的條件下，事件

A

(選手選擇的牌有獎)發生的機率。

情況1、主持人不知道哪張牌有獎，所以隨意選擇一張。

在這種情況下有：

P(A)=\frac{1}{3}

；

P(\overline B|A)=1

（若事件

A

——選手選擇的牌有獎，在該情況下，事件

\overline B

——主持人選擇的牌一定沒有獎，條件機率為

1

）；

P(\overline A)=\frac{2}{3}

；

P(\overline B|\overline A)=\frac{1}{2}

（若事件

\overline A

——選手選擇的牌沒有獎，在該情況下，事件

\overline B

——主持人選擇的牌沒獎的機率為

\frac{1}{2}

）。

帶入到上面的公式得：

P(A|\overline B)=\frac{1\times\frac{1}{3}}{1\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}

可見，如果主持人只是隨機選了一張牌，那麼剩下的兩張牌中獎的機率是一樣的，因為主持人並未引入其他條件資訊。

情況2、如果主持人知道哪張牌有獎，所以他會故意選擇一個沒有獎的牌。

在這種情況下有：

P(A)=\frac{1}{3}

；

P(\overline B|A)=1

（若事件

A

——選手選擇的牌有獎，在該情況下，那麼事件

\overline B

——主持人選擇的牌一定沒有獎，不管主持人選兩張沒獎牌中的哪一張，條件機率為

1

）；

P(\overline A)=\frac{2}{3}

；

P(\overline B|\overline A)=1

（若事件

\overline A

——選手選擇的牌沒有獎，在該情況下，事件

\overline B

——

主持人一定會選一張沒有獎的牌！！！

所以其條件機率為

1

）。

帶入到上面的公式得：

P(A|\overline B)=\frac{1\times\frac{1}{3}}{1\times\frac{1}{3}+1\times\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}

可見，

如果主持人知道哪張牌沒有獎

，這時候選手手上的牌有獎的機率只有

\frac{1}{3}

，為了增大中獎率，就要選擇換一張牌了。

想中獎，還是得好好學學數學呢~

參考

^

Monty Hall problem。

https：//en。wikipedia。org/wiki/Monty_Hall_problem

^

Monty Hall。

https：//en。wikipedia。org/wiki/Monty_Hall

^

Thomas Bayes。

https：//en。wikipedia。org/wiki/Thomas_Bayes