統計力學3-相空間

一個隨時間演化的system， 我們可以描述出它的運動軌跡， 以及它在運動軌跡上任一點的速度， 這樣它的演化過程就被完全描述。 所以， 我們可以用它在每個時刻的position和velocity來描述它在任一時刻的state。 在 classical mechanics當中， 我們認為一個system在某一時刻的position和momentum 也是是唯一確定的， 因此， 這個system隨時間演化的過程中所處的每一個state 也可以由系統的position和momentum來描述。 假定有一個在三維空間中運動的粒子， 它在任意一個時刻都有三個coordinates x ， y， z以及三個momentum components px， py， pz， 所以我們要描述這個單粒子在某一時刻的運動狀態， 就需要6個分量。 按照慣例， 我們將位置座標記為q， 動量座標記為p， 這個pq空間就稱作phase space。 顯然這個相空間是一個六維的空間， 其中動量分量和座標分量各佔三維。 如果一個系統處在三維空間， 這個系統包含N個粒子， 那麼我們為了在phase space中描述這個系統， 就需要一個6N維的phase space。 Phase space 中的每一個點就表示系統的一個state。

下面， 我們看兩個例子。

下圖所示為一個單粒子在一維空間（一條線）上的運動情形， 它隨時間的演化情況在phase space 中被描述為一條在pq組成的一個平面上的運動軌跡。

單擺的運動情況（圖片來自Wikipedia）

我們為什麼要用位置和動量來描述系統的狀態， 這是為了使我們的研究方法更一般化更簡單化。 實際上我們在用相空間描述系統的狀態時， 我們不只是可以用位置和動量， 而是可以用廣義座標和對應的廣義動量， 這樣我們所能處理的問題就更普遍。 另外， 我們在研究力學問題時， 總是會去考慮系統的Lagrangian 和Hamiltonian， 我們選取了廣義座標和廣義動量的描述方式， 就使得問題的研究變得可能或者更簡單。

下面再來談談phase space 的一個性質——相空間中代表點的軌跡不相交

簡單來說， 就是因為在經典力學一個系統的演化是確定的， 所以每一個時刻系統內任意一個粒子的位置和動量是確定的。 從物理上看， 如果在相空間中存在軌跡交叉的情況， 那麼假設系統的初態在交叉點， 這樣有可能存在兩種演化軌跡， 這與演化的確定性相違背。（誰有好的嚴格的數學推理， 歡迎補充討論）

從相空間軌跡不交叉這一結論出發， 可以很容易得到經典力學中的一個重要結論： 相流不可壓縮， 即 Liouville 定理。

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