上期回顧：

到目前為止， 簡單博弈和我們夢想的代數系統之間還有著一些差距， 那就是它還不是全序的。 本章將從簡單博弈群

\mathbb{P}

中取出一個全序的子群

\mathbb{S}

， 並在上面定義乘法， 使之成為一個有序域。 我們甚至還能證明， 存在上述有序域的一個子域同構於實數域， 也就是說這個有序域比實數域更大。 這個

\mathbb{S}

一般被人們稱為 surreal 域。 （有些人會叫超實數域， 但是這容易與 hyperreal 混淆， 所以這裡就用英文了。 事實上 hyperreal 也是 surreal 的一個子域， 而且

\mathbb{S}

還是最大的有序域 （指無法進一步擴張）， 不過這就超出了我們的討論範圍了。）

§2.1 簡單正則博弈

首先讓我們給出正則博弈的概念。 我們考慮這樣的一個博弈系統： 每個人的每次操作都使得局面向著不利於自己的方向發展。 在這個博弈系統下， 博弈雙方的輪流操作將導致博弈狀態在結果的兩側”擺動”， 於是一個博弈的結果將嚴格地被左右集合所控制， 由此產生包括全序在內的許多良好性質。 下面讓我們給出這種博弈的嚴格定義。

定義

我們稱簡單博弈下的狀態

g

是

正則的

， 如果

g

的任何子狀態都是正則的， 且任取

g_1^l∈G^L,g_2^r∈G^R

， 必有

g_1^l≱g_2^r

成立。 記所有正則狀態構成的集合為

\mathbb{S}

， 所有有限正則狀態構成的集合為

\mathbb{S}_f

。

上述定義是一個遞迴形式的定義， 它是良定義這一點並不明顯， 因為它看上去並沒有規定一個遞迴終點。 然而事實上， 零點一定是正則的。 這是因為零點的左右集合均為空集， 而我們又在簡單博弈的範疇下， 從而零點”子狀態正則”與”任意左集合元素不大於等於任意右集合元素”這兩點都自動成立。 於是零點天然地稱為上述定義的遞迴終點， 從而該定義是良的。

正則狀態左右集合中元素的大小限制導致瞭如下的定理。

定理2.1 (弱雙邊約束)

若

x

正則， 則

X^L≤x≤X^R

。

證明

只證明

X^L≤x

， 因為

x≤X^R

可以完全對稱地完成論證。 對

\mathcal{D}(x)

歸納。 若

\mathcal{D}(x) =0

， 則結論自動成立。 假設結論對小於

\mathcal{D}(x)

的情形成立， 我們用反證法證明

X^L≤x

。

假設

∃x^l∈X^L,x≱x^l

， 則由定理 1。7， 要麼

\exists x^r∈X^R

使

x^r≤x^l

， 要麼

∃x^{ll}∈(x^l )^L

使

x^{ll}≥x

。 由於

x

正則， 故第一種情形不成立。 又由歸納假設，

x^l≥x^{ll}

， 從而

x^l≥x

， 由命題 1。8 的註解知這是不可能的， 從而導致矛盾。 ∎

推論 (雙邊約束)

若

x

正則， 則

X^L<x<X^R

。

證明

只證明

X^L<x

。 由定理 2。1，

X^L≤x

。 假設

∃x_1^l∈X^L,x_1^l=x

， 則有

x_1^l≥x

。 取

x_2^l=x_1^l∈X^L

， 則

x_1^l≤x_2^l

， 這與定理 1。7 矛盾。 ∎

定理 2。1 及其推論指出，

x

本身的大小是受限於它的左， 右集合各自的子狀態的， 且被限制在一個有雙側界限的範圍內。 它直接導致了下面的定理：

定理2.2

不存在這樣的正則狀態

x,y

， 使得

x \sim y

成立。

證明

不妨設

x≱y

， 則由定理 2。1， 要麼

∃x^r∈X^R

使

x^r≤y

， 要麼

∃y^l∈Y^L

使

x≤y^l

。 由弱雙邊約束定理， 對於情形一， 有

x≤x^r≤y

； 對於情形二， 有

x≤y^l≤y

。 從而，

x≤y

成立。 同理可以證明， 若

x≰y

， 則一定有

x≥y

。 這就證明了

x \sim y

永遠不成立。 ∎

定理 2。2 有一些頗有用處的等價表述：

對任何正則狀態

x,y

， 要麼

x≥y

， 要麼

y≥x

。

≥

是正則狀態集

\mathbb{S}

上的全序。 （請讀者自行證明）

與此同時，

\mathbb{S}

和

\mathbb{S}_f

仍然保持對加法的封閉：

定理2.3

若

x,y∈\mathbb{S}

， 則

x+y∈\mathbb{S}

。 若

x,y∈\mathbb{S}_f

， 則

x+y∈\mathbb{S}_f

。

證明

由

X^L<x<X^R

和

Y^L<y<Y^R

， 結合加法的保序性定理可知

X^L+y<X^R+y,x+Y^L<x^R+y,X^L+y<x+Y^R,x+Y^L<x+Y^R

故

x+y∈\mathbb{S}

。 又因為有限博弈的加法一定還是有限的， 因此若

x,y∈\mathbb{S}_f

， 則

x+y∈\mathbb{S}_f

。 ∎

推論

(\mathbb{S}_f,+,0)<(\mathbb{S},+,0)<(\mathbb{P},+,0)

。

現在我們考慮

\mathbb{S}

上在相等意義下的最簡式 （定義在 1。1 節）。 我們有下面的有趣的定理：

定理2.4 (簡單正則博弈化簡原理)

對於正則數

g=(G^L |G^R )

， 如果

x

是滿足

G^L<x<G^R

的天數最小的數， 則有

x=g

。

證明

考慮狀態

p=(G^L,X^L|G^R,X^R )

。 由於

X^L⊆P^L

， 故

p>X^L

， 再結合

x^R>x

和

G^R>x

可知

p≥x

。 同理

p≤x

， 從而有

p=x

。 另一方面， 由於

\mathcal{D}(X^R) < \mathcal{D}(x)

以及

X^R>x

， 故只能

X^R≥G^R

。 結合

G^R>g

可知

X^R>g

。 （注意這段證明只對

X^R

非空時成立， 但當

X^R

為空集時又顯然有

X^R>g

， 因此不會影響接下來的證明。） 又因為

G^R>g

和

p>G^L

（這是因為

G^L⊆P^L

）可知

p≥g

。 同理

p≤g

， 從而有

p=g

。 這就證明了

x=g

。 ∎

推論

正則數的最簡式的左右集合要麼是空集， 要麼只有 1 個元素。

證明

若不然， 設

g

是擁有超過 1 個元素的左（右）集合的最簡式。 則刪去

g

的左集合中一個非最大數（右集合中的一個非最小數）， 得到的新的數

g

顯然仍是正則數， 且

g

和

g

在上述定理中對應著相同的

x

， 從而

g

。 這與

g

的最簡性不符。 ∎

有了這個定理， 我們便可快速地找出“每一天”被新創造出的數來。 這裡的第

n

天被創造出來的數是指天數為

n

的數。 在第 0 天顯然僅有一個數

0=(\ |\ )

。 而在第 1 天可能的新的數則包括

(0|\ ), (\ |0)

和

(0|0)

。 我們把前兩個稱為

1

和

-1

（同時注意到它們互為相反數）， 而第三個數並不是正則數。 容易證明

-1<0<1

（證明留給讀者）。 如果繼續這樣的討論， 我們還將發現第 2 天有 4 個新的數誕生了。 一般地， 我們有下面的結論：

定理2.5

第

n

天被創造出來的數共有

2^n

個， 它們分別出現在之前的

2^n-1

個數之間和兩側。

證明 對

n

歸納。

n=1

的情況顯然。 假設結論對小於

n

的情況全部成立， 則在第

n

天之前已經有了

2^n-1

個數， 我們記為

x_1<x_2<⋯<x_{2^n-1}

。 由定理 2。4 及其推論， 可知每個新創造出來的數只能是

(\ |x_1 ), (x_{2^n-1}|\ )

或

(x_k|x_{k+1} )

的形式， 這樣的數自然只能有

2^n

個。 進一步， 我們不難證明

(\ |x_1 )<x_1

；

(x_{2^n-1}|\ )>x_{2^n-1}

；

x_k<(x_k|x_{k+1} )<x_{k+1}

。

由此便說明了這

2^n

個數兩兩不相等且分別出現在之前的

2^n-1

個數之間和兩側。 它們便是全體被新創造出來的數。 ∎

接下來， 讓我們把目光轉向

\mathbb{S}

本身的結構。 我們將陸續證明它具有著和實數類似的構造。

定義

若正則數

x

滿足

x=(x-1|x+1)

， 則稱

x

是一個

整數

。 稱全體整數構成的集合為

\mathbb{Z}

， 全體有限整數構成的集合為

\mathbb{Z}_f

。

定理2.6

\mathbb{Z}

是

\mathbb{S}

的子群。

\mathbb{Z}_f

是

\mathbb{S}_f

的子群。

證明

設

x,y∈\mathbb{Z}

， 則

x-y=(x-1|x+1)-(y-1|y+1)=(x-y-1|x-y+1)∈\mathbb{Z}

。 進一步， 如果

x,y

都是有限的， 則

x-y

顯然也是有限的。 從而結論得證。 ∎

定義

稱形如

z_n=(0,z_1,…,z_{n-1}|\ )\ (n∈\mathbb{Z}^+ )

的數為

正整數

， 不引起混淆的情況下一般也可簡寫成

n

。 同理定義

負整數

z_{-n}

為

(\ |0,z_{-1},…,z_{-n+1}) \ (n∈\mathbb{Z}^+ )

， 不引起混淆的情況下一般也可簡寫成

-n

。 特別地， 稱

z_0=0

。

由上面的定義， 我們有顯然的結論：

\mathcal{D}(z_n)=\left| n \right|

。

定理2.7

對

n∈\mathbb{Z}^+

， 我們有

z_{n-1}+1=z_n

以及

z_{-n+1}-1=z_{-n}

。

證明

首先證明前一半結論。 我們對

n

歸納。

n=1

時結論顯然。 若對正整數

k

有

z_{k-1}+1=z_k=(k-1|\ )

， 則有

z_{k+1}=(k-1|\ )+(0|\ )=(k,(k-1|\ )|\ )=(k|\ )=k+1

， 從而結論得證。 另一半結論同理可得。 ∎

推論

全體

\left\{z_n|n∈\mathbb{Z}\right\}

構成是以 1 為公差的等差數列。

定理2.8

\left\{z_n|n∈\mathbb{Z}\right\}

給出了全體有限整數。

證明

反證法。 如果有限整數

x\notin \left\{z_n|n∈\mathbb{Z}\right\}

， 則一定存在整數

n

使得

z_n<x<z_{n+1}

。 又因為

x=(x-1|x+1)

， 故有

x-1<z_n<x<z_{n+1}<x+1

。 又由定理 2。4 知

x

是

x-1

與

x+1

之間出現的天數最小的數， 故

\mathcal{D}(x) < \mathcal{D}(z_n), \mathcal{D}(x) < \mathcal{D}(z_{n+1})

。 但這是不可能的， 因為如果

x>0

， 則一定有

n≥0

， 必有

\mathcal{D}(x) >n

， 矛盾； 反之若

x<0

， 則同樣也能推出矛盾。 綜上結論得證。 ∎

接下來讓我們研究那些非整數的正則數。 目前我們還沒有定義乘法， 因此暫時沒有分數的概念。 但這不妨礙我們先定義

\frac{x}{2}

（稱之為

二分運算

）。 若

y+y=x

， 則稱

y=\frac{x}{2}

。 注意到這樣的

y

總是唯一的， 因為對

∀z<y,z+z<y+y=x

； 反之對

∀z>y,z+z>y+y=x

。 進一步， 我們還可以繼續定義

\frac{x}{4},\frac{x}{8},\cdots

一直到任意的

\frac{x}{2^n}

。 這個倍數關係不僅是線性的， 還是單調的。 事實上有這樣的定理：

定理2.9

有關二分運算， 我們有下面的性質：

\frac{-x}{2}=-\frac{x}{2}

。

\frac{x+y}2=\frac{x}2+\frac{y}2

。

o(x)=o\left (\frac{x}2\right )

。

證明都是平凡的。 我們把它留作習題。

我們可以繼續建立下面的定理：

定理2.10

若

n

為整數，

k

為自然數， 則有

\frac{n}{2^k} =\left(\frac{n-1}{2^k} \Bigg|\frac{n+1}{2^k} \right)

。

證明

對

k

歸納。

k=0

的情況已經證明。 設結論已對

k

成立， 則由定理 2。4 知， 對一切整數

n

，

n/2^k

是位於

\frac{n-1}{2^k}

和

\frac{n+1}{2^k}

之間的天數最小的數。 再由定理 2。9 知

0<\frac{1}{2^{k+1}} <\frac{1}{2^k}

， 從而我們有

\frac{n-1}{2^k} < \frac{n}{2^k} -\frac{1}{2^{k+1}} < \frac{n}{2^k} <\frac{n}{2^k} +\frac{1}{2^{k+1}} <\frac{n+1}{2^k}

再次應用定理 2。4 可知

\frac{n}{2^k} =\left(\frac{n}{2^k} -\frac{1}{2^{k+1}}\Bigg|\frac{n}{2^k} +\frac{1}{2^{k+1}}\right)

。 從而

\frac{n}{2^k} =\left(\frac{n}{2^k} -\frac{1}{2^{k+1}} \Bigg|\frac{n}{2^k} +\frac{1}{2^{k+1}}\right)=\left(\frac{n}{2^{k+1}} \Bigg|\frac{n+1}{2^{k+1}} \right)+\left(\frac{n-1}{2^{k+1}} \Bigg|\frac{n+1}{2^{k+1}}\right)

這就證明了

k+1

的情形。 ∎

有了上面的這些定理， 我們便可以迅速計算出一系列正則數的”值”了。 比如

(0|1)

， 它顯然等於

\left( \frac{1-1}{2}\Bigg|\frac{1+1}{2}\right)=\frac{1}{2}

。 再比如

\left(\frac{1}{2}\Bigg|1\right)

， 它就相當於

\left( \frac{3-1}{4}\Bigg|\frac{3+1}{4}\right)=\frac{3}{4}

， 等等。 由此， 每一天誕生的正則數終於浮出了水面：

\begin{array} {} {\mathcal{D}(0)} & { } & { } & { } & { } & { } & { } & { 0 } \\ {\mathcal{D}(1)} & { } & { } & { } & -1 & { } & { } & { } & { } & { } & { 1 } \\ {\mathcal{D}(2)} & { } & { - 2 } & { } & { } & { } & { - \frac { 1 } { 2 } } & { } & { \frac { 1 } { 2 } } & { } & { } & { } & { 2 } \\ {\mathcal{D}(3)} & { - 3 } & { } & { - \frac { 3 } { 2 } } & { } & { - \frac { 3 } { 4 } } & { } & { - \frac { 1 } { 4 } } & { } & { - \frac { 1 } { 4 } } & { } & { \frac { 3 } { 4 } } & { } & { \frac { 3 } { 2 } } & { } & { 3 } \end{array}

習題 2.1

證明定理 2。9。

證明：

(x|\ )≤x+1,(\ |x)≥x-1

。

計算

\frac{7}{32}

第一次出現的天數。

考慮所有有限整數經過有限次二分運算後得到的數的集合

\mathbb{D}_f

。 證明：

\mathbb{S}_f=\mathbb{D}_f

。

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