Notes on SUSY (1)

記錄一些讀 Stephen Martin 的 A Supersymmetry Primer （arXiv： hep-ph/9709356）的閱讀筆記。

1。超對稱的物理動機

任何新理論的提出都是由物理動機驅使的，這些動機可以來源於

舊理論和實驗的矛盾

，也可以來源於

舊理論自身的不自洽性

，甚至可以來源於

純粹數學事實的驅動

。在今天，從事後的角度來看，超對稱的提出可以有以下這些物理動機：

（1）規範等級問題（gauge hierarchy）

這個問題來源於我們已經比較準確地測量到了Higgs玻色子的質量，並且它

太輕

，只有約125GeV。而計算一個質量為

的粒子

對Higgs的自能修正時，在透過重整化消除掉無窮大部分後，剩下的有限大部分就是對Higgs的質量修正。令人覺得不自然的地方在於這個有限大的部分正比於

（這其實是標量粒子自能修正的通病），而不像具有手徵對稱性保護的費米子那樣正比於費米子自身的質量。這使得如果

很重的話，就會對Higgs的質量有很大的修正，甚至可以遠大於它的物理質量。這一點在標準模型下還不是很嚴重，因為標準模型中並沒有比Higgs重太多的基本粒子。但是我們知道標準模型一定不完備，新物理一定存在。如果新物理存在於一個較高能標（如GUT能標），並且在那個能標存在新粒子的話，那新粒子就會對Higgs質量帶來遠大於弱電能標的輻射修正。但我們又知道Higgs的物理質量只有125GeV，

這意味著輻射修正和Higgs的樹圖階質量這兩個大數需要進行非常精細的相消才能正好給出只有125GeV的物理質量

。這種需要經過精細調節的不自然性就是規範等級問題。

而在超對稱的框架下，就能非常完美地解決規範等級問題。這是因為

超對稱假設所有的基本費米子（玻色子）都有自己的超對稱伴子，它是玻色子（費米子）

。

基本粒子的質量和它的超對稱伴子在超對稱保持時嚴格相等

。又因為粒子統計性質的不同，費米圈相對玻色圈會多一個負號，所以基本粒子對Higgs質量的輻射修正和它的超對稱伴子的貢獻是嚴格等大反號的，兩者正好相消。換句話說，

超對稱保護了Higgs的質量不受到大質量粒子的輻射修正

，這就解決了規範等級問題。

（2）規範耦合常數的統一

標準模型

${\rm SU}(3)_c \otimes {\rm SU}(2)_{\rm L}\otimes{\rm U}(1)_{\rm Y}$

只是在一個統一框架下描述了強，弱，電磁三種相互作用，但並沒有把這三種規範對稱性統一到一個更大的對稱性中去。大統一理論（GUT）所追求的就是在更高能標時存在一個更大的對稱群

，此時三種基本相互作用都由

決定。當能標演化到較低能標時，

再自發破缺到標準模型的

${\rm SU}(3)_c \otimes {\rm SU}(2)_{\rm L}\otimes{\rm U}(1)_{\rm Y}$

對稱性，重現實驗結果。

所以，大統一理論的一個基本要求就是

三種規範相互作用的規範耦合常數在經過重整化群方程跑動後能在高能標處交於一點

。注意這

不是

一個平庸的要求，因為三個確定初始條件的一階常微分方程所對應的三條曲線在一般情況下是不會正好交於一點的。經過計算可以發現，對於一些非超對稱的大統一理論，如

$G={\rm SU}(5)$

，三條曲線在誤差範圍內確實不能相交於一點

（Mod。Phys。Lett。A 6 （1991） 1745-1755）

。但是在加入超對稱後，情況又一次得到了改善。這是因為超對稱引入了超對稱伴子，這些新粒子對規範耦合常數的重整化群方程有額外的貢獻，使得方程的係數發生了改變。計算後發現，在加入超對稱後的

$\rm SU(5)$

大統一理論中，新的重整化群方程解出來的三條跑動曲線在誤差範圍內可以交於一點，這一點對應的能標大概為10^16 GeV。

（3）暗物質

讓21世紀的物理學家和天文學家無比堅信一定存在但就是死活找不到的東西一定就是暗物質了。無數的天文學、宇宙學觀測證據都表明了我們宇宙中存在大量不發光的物質，它就是暗物質。雖然我們今天對暗物質仍然知之甚少，我們甚至不知道它的粒子組成，但我們至少知道它不是什麼：i）暗物質不能參與電磁相互作用；ii）暗物質是穩定粒子，不能衰變，或壽命遠大於宇宙年齡；除此以外，我們還知道 iii）今天的宇宙學觀測給出暗物質佔宇宙總物質的大約1/4，所以暗物質必須在早期宇宙中在進入物質主導時期之前透過熱產生（freeze out）或者透過母粒子的衰變非熱產生（freeze in），在隨著宇宙膨脹演化到今天的時候必須給出正確的殘留丰度；iv）暗物質的存在要能解釋宇宙大尺度和小尺度結構，這點可以用來幫助確定暗物質退耦時候的運動型別（熱的，溫的，還是冷的）。

超對稱的存在提供了一個非常自然的暗物質候選者

：neutralino。超對稱中的4個neutralinos是由

${\rm SU}(2)_{\rm L}\otimes{\rm U}(1)_{\rm Y}$

的兩個中性規範玻色子的超對稱伴子

$\tilde{B}^0$

（bino）和

$\tilde{W}^0$

（wino）與兩個中性Higgs玻色子（是的你沒看錯，超對稱裡至少得有倆Higgs，原因後說）的超對稱伴子

$\tilde{H}_u^0$

，

$\tilde{H}_d^0$

（higgsinos）這4箇中性的，自旋1/2的費米子混合後的4個質量本徵態：

$\chi_i=\alpha_{i1}\tilde{B}^0+\alpha_{i2}\tilde{W}^0+\alpha_{i3}\tilde{H}_u^0+\alpha_{i4}\tilde{H}_d^0\;,\quad i=1,2,3,4$

這4個neutralinos中最輕的那個被稱為lightest supersymmetric particle （LSP），它就是暗物質很自然的候選者，這是因為：1）它是中性的；2）超對稱中天然存在的

對稱性——

宇稱保證了LSP一定是穩定粒子，因為LSP的

宇稱是-1，而所有可能比它輕的標準模型粒子的

宇稱都是+1，從而

宇稱守恆禁戒了它的衰變。

（4）超弦理論

弦理論是最有希望統一量子理論和引力理論的量子引力候選者。但是我們知道早期由Nambu等人提出的玻色弦理論只是一個玩具模型，因為它不能包括構成我們世界的磚塊：費米子。而為了把費米子包括進來，就必須把弦論從普通空間推廣到存在Grassmann數的超空間，這就是超弦理論。但是為了讓超弦理論和量子力學相容，我們必須要求在超空間記憶體在旋轉對稱性，即普通數和Grassmann數之間的交換對稱性，這就是超對稱（因為玻色子場用普通數描述，而費米子場用Grassmann數描述）。所以可以說，

超對稱是超弦的必然推論，超弦理論預言了超對稱。

（5）可能存在的最大時空對稱性

S矩陣元是量子理論的核心，在1967年，Coleman和Mandula證明了：S矩陣元能夠具有的最大時空對稱群只能是龐加萊對稱群

（Phys。Rev。159 （1967） 1251-1256）

，這就是著名的Coleman-Mandula theorem，這是一個no-go theorem，它阻止了人們把龐加萊群嵌入更大的對稱群的嘗試。

但是 Coleman-Mandula theorem 假設了對稱群的所有生成元之間的李代數關係都只能是對易子，換句話說所有的生成元都只能是玻色型的。這個假設在物理上其實沒有特別的理由。1975年，Haag ， Lopuszanski 和 Sohnius 放棄了這個假設，透過允許引入費米型生成元和反對易子的李代數關係，將最大的時空對稱群從龐加萊群推廣到了超龐加萊群

（Nucl。Phys。B

88 （1975） 257

）

。龐加萊代數的不可約表示自然地給出了標準模型中基本粒子的定義，而超龐加萊代數（SuperPoincare algebra）的不可約表示則給出了超對稱中所有基本粒子的定義。

出於純粹理論上的動機，既然數學上允許的最大時空對稱性是超龐加萊對稱性，我們就沒有理由相信自然界會不選擇它而只選擇（較小的）龐加萊對稱性。

總結一下，上面列出了五點超對稱的物理動機，其中第一點源於標準模型理論內部的不自洽性，第三點來自實驗觀測的驅動，第二點和第四點是更終極的統一理論的要求，而最後一點僅僅來源於數學事實的啟發。從各個角度來看，一個超越標準模型的新理論都呼之欲出，而超對稱的誕生確實一舉解決了上面所有的問題。下面，讓我們開始吧。

2. 超多重態

超對稱的關鍵是存在費米子和玻色子之間的相互轉化。為此，需要引入

費米型

的算符

和它的厄米共軛算符

$Q^{\dagger}$

，它們能將玻色子態（費米子態）轉化為費米子態（玻色子態）

$Q|{\rm Boson}\rangle=|{\rm Fermion} \rangle\;,\quad Q|{\rm Fermion}\rangle=|{\rm Boson} \rangle$

因為玻色子可以用通常的數描述，而費米子需要用 Grassmann 數描述（旋量），為了使上式成立，

作為算符的

和

$Q^{\dagger}$

也必須同時是旋量，它們的自旋為1/2。

進一步地，對於手徵理論（即左手費米子和右手費米子在規範變換下不相同的理論），Haag-Lopuszanski-Sohnius 定理要求

和

$Q^{\dagger}$

以及4-動量算符

$P^\mu$

之間滿足如下的代數關係（省略了旋量指標）：

$\left\{Q,Q^{\dagger} \right\}=P^\mu$

$\left\{Q,Q\right\}=\left\{Q^\dagger,Q^\dagger\right\}=0$

$\left[P^\mu,Q\right]=\left[P^\mu,Q^\dagger\right]=0$

從上面的第一式也可以看出

和

$Q^\dagger$

分別服從洛倫茲群的左手旋量表示

$\left(\frac{1}{2},0\right)$

和右手旋量表示

$\left(0,\frac{1}{2}\right)$

，這是因為

$P^\mu$

服從洛倫茲群的4-矢量表示

$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

，而且

$\left(\frac{1}{2},0\right)\otimes\left(0,\frac{1}{2}\right)\simeq\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

。

上面引入的費米型算符

和

$Q^\dagger$

原則上可以引入任意多組：

$Q_i, Q_i^{\dagger},\quad i=1,2,..., {\cal N}$

${\cal N}>1$

的超對稱理論稱為extended supersymmetry，

它們在四維時空場論中不能允許手徵費米子和宇稱破壞的存在

，而這顯然和標準模型違背，所以它們不可能描述四維時空中的真實世界，

我們之後只討論

${\cal N}=1$

的超對稱理論

。（注：extended supersymmetry在額外維理論中是可以描述真實世界的。另一方面，四維時空中的extended supersymmetry可以作為玩具模型，給高維時空中的理論提供計算工具。）

超對稱代數的不可約表示就定義了超對稱中基本粒子的單粒子態，

這些單粒子態被稱為超多重態 (supermultiplets)

。每個超多重態中既含有費米子態也含有玻色子態，它們互為對方的超對稱伴子（superpartner），它們之間透過

和

$Q^\dagger$

互相轉化。

同一個超多重態中的粒子具有嚴格相等的質量

，證明如下：

假設

$|\Omega\rangle$

和

$|\Omega^\prime \rangle$

是同一個超多重態中的兩個態，設

$|\Omega\rangle$

的質量為

，即

$P^2|\Omega\rangle=m^2|\Omega\rangle$

，其中

$P^2\equiv P_\mu P^\mu$

是由4-動量算符生成的Casimir算符，顯然它和

及

$Q^\dagger$

都對易。按定義，因為

$|\Omega \rangle$

和

$|\Omega^\prime \rangle$

屬於同一個超多重態，所以

$|\Omega^\prime \rangle$

一定可以正比於

和

$Q^\dagger$

某種組合作用於

$|\Omega\rangle$

，至多差一個龐加萊變換

$\Lambda$

（包括時空平移和旋轉），即

$|\Omega^\prime \rangle=\Lambda\left(c_1Q+c_2Q^\dagger\right)|\Omega\rangle$

因為

和

，

$Q^\dagger$

以及

$\Lambda$

都對易，所以

這說明

$|\Omega^\prime \rangle$

的質量也是

，證畢。

另外，

與

$Q^\dagger$

和所有的規範變換的生成元也都對易（這是顯然的，因為

和

$Q^\dagger$

屬於時空變換），按照和上面一樣的證明思路，我們得到這樣的結論：

屬於同一個超多重態的粒子必須屬於規範群的相同表示，從而它們必須具有相同的電荷、弱同位旋和顏色自由度。

除此以外，根據上面代數關係的第三式，

與

$Q^\dagger$

和4-動量算符

$P^\mu$

也對易，所以

屬於同一個超多重態中的粒子還具有相同的4-動量

。

下面我們來證明：

每一個超多重態中的費米自由度和玻色自由度必須相等

。

考慮算符

$J=(-1)^{2s}$

，其中

是自旋算符，把它作用到費米態

$|F\rangle$

（玻色態

$|B\rangle$

）上會得到-1（+1）。顯然

和任何費米型算符

都是反對易的，這是因為

$J |B\rangle=|B\rangle$

，

$J|F\rangle=-|F\rangle$

，

$A|B\rangle=|F\rangle$

，

$A|F\rangle=|B\rangle$

，從而

$JA|F\rangle=J|B\rangle=|B\rangle$

，

$AJ|F\rangle=-A|F\rangle=-|B\rangle$

，

$JA|B\rangle=J|F\rangle=-|F\rangle$

，

$AJ|B\rangle=A|B\rangle=|F\rangle$

，從而

$\left\{J,A\right\}|F\rangle=\left\{J,A\right\}|B\rangle=0$

，所以

$\left\{J,A\right\}=0$

。特別地，

和

及

$Q^\dagger$

也是反對易的。

現在，考慮超多重態中由所用動量本徵值為

$p^\mu$

的態組成的子空間

$\left\{|i\rangle\right\}$

，即

$P^\mu |i\rangle=p^\mu |i\rangle$

。因為

$P^\mu$

和

及

$Q^\dagger$

都對易，所以

和

$Q^\dagger$

作用到態

$|i\rangle$

上得到的態

$|i^\prime\rangle$

的動量本徵值也是

$p^\mu$

，即

所以態

$|i^\prime \rangle$

也在這個子空間中，所以此子空間是完備的，有完備性關係

$\sum\nolimits_i |i\rangle \langle i|=1$

。現在我們對算符

$J P^\mu$

求跡

$\begin{eqnarray} \sum_i\langle i|J P^\mu|i\rangle&=&\sum_i\langle i|QQ^\dagger|i\rangle+\sum_i\langle i|Q^\dagger Q|i\rangle\\ &=&\sum_i \langle i|J QQ^\dagger|i\rangle+\sum_i\sum_j\langle i |JQ^\dagger|j\rangle\langle j| Q |i\rangle\\ &=&\sum_i \langle i|J QQ^\dagger|i\rangle+\sum_j\langle j|QJQ^\dagger|j\rangle\\ &=& \sum_i \langle i|J QQ^\dagger|i\rangle-\sum_j\langle j|JQQ^\dagger|j\rangle\\ &=&0 \end{eqnarray}$

上式中第一個等式利用了

$\left\{Q,Q^{\dagger} \right\}=P^\mu$

，第二個和第三個等式利用了完備性關係，第四個等式利用了

和

的反對易關係。另一方面我們知道

$\sum_i\langle i|J P^\mu|i\rangle=p^\mu \sum_i\langle i|J |i\rangle=p^\mu {\rm Tr}\left(J\right) =p^\mu\left(n_B-n_F\right)$

其中

和

分別是超多重態中的玻色自由度和費米自由度。所以最後我們得到

（for

$p^\mu\neq0$

），也就是說，對每個存在非零四動量態的超多重態，其中的費米自由度必須等於玻色自由度，證畢。

下面我們討論一些簡單的超多重態的組成：

（1）最簡單的超多重態由一個Weyl費米子（存在兩個螺旋度態，所以

）和兩個實標量粒子（或等價地，一個復標量粒子，

）組成，被稱為

手徵 (chiral) 超多重態

，或物質（matter）超多重態，或標量（scalar）超多重態。（忍一下，這裡名字比較多，因為不同的文獻喜歡用不同的叫法）

（2）其次簡單的超多重態含有一個向量型的規範玻色子，在規範對稱性自發破缺之前，它是

無質量的

，一共有兩個極化自由度，所以

。它的超對稱伴子（被稱為gaugino）是一個

無質量

的自旋1/2的Weyl費米子，所以

（注意：如果選擇無質量的自旋3/2的費米子，雖然也有兩個螺旋度，但這樣的理論是不可重整的）。我們知道規範玻色子按照規範群的伴隨表示進行變換，所以gaugino也必須按照規範群的伴隨表示進行變換。又因為

規範群的伴隨表示總是等於其共軛

，所以

gaugino的左手分量和右手分量（它們互為共軛）在規範群下的變換規則必須一樣。

這樣由一個自旋1的規範玻色子和一個自旋1/2的gaugino所組成的超多重態被稱為

規範 (gauge) 超多重態

或向量（vector）超多重態。

（3）自旋2的無質量的引力子（graviton），

，它的超對稱伴子稱為gravitino，是自旋3/2的費米子。

在超對稱破缺之前，gravitino必須保持無質量

，從而

。

（4）別的由更復雜的粒子和自旋組成的集合只要滿足

，也能組成超多重態。但對於可重整的相互作用，

更復雜的超多重態總能分解為手徵超多重態和規範超多重態的組合。

3. 超對稱中的基本粒子

我們接下來討論

${\cal N}=1$

的最小超對稱標準模型（MSSM）中的基本粒子譜。

超對稱中的所有基本粒子都處於手徵超多重態或規範超多重態中。

首先，

標準模型中的所有費米子必須處於手徵超多重態中

，這是因為我們已經知道所有的夸克和輕子的左右手分量在規範變換下的行為是不同的，所以它們不能處於規範超多重態中。標準模型費米子的超對稱伴子只能是自旋為0的標量粒子而不能是自旋為1的向量粒子。

它們的命名規則是在原有名字前面加上"s" (scalar)

，例如輕子（lepton）的超對稱伴子稱為slepton （selectron， smuon， stau， sneutrino），夸克（quark）的超對稱伴子稱為squark。

它們的記號是在原有的記號上方加上"~"

，例如夸克二重態和右手下型夸克場分別記為

$\left(\begin{matrix} u_L\\ d_L \end{matrix}\right)$

和

，它們的超對稱伴子則記為

$\left(\begin{matrix} {\tilde u}_L\\ {\tilde d}_L \end{matrix}\right)$

和

$\tilde{d}_R$

。注意，這裡

$\tilde{u}_L$

，

$\tilde{d}_L$

，

$\tilde{d}_R$

都是標量，所以它們的下標L和R不代表它們的手性，只代表它們對應的超對稱伴子的手性。顯然，

slepton和squark在規範變換下的行為和它們的超對稱伴子（即輕子和夸克）完全一樣

。

其次，

標準模型中Higgs玻色子#FormatImgID_136# 的自旋為0，所以只能處於手徵超多重態中。它的超對稱伴子是自旋1/2的費米子，稱為higgsino，記作 #FormatImgID_137# 。

前面已經說過，在超對稱中一個Higgs是不夠的，為了理論的自洽性，至少需要引入兩個Higgs二重態

與

和它們的超對稱伴子

$\tilde{H}_u$

與

$\tilde{H}_d$

，

並且這兩個Higgs的超荷必須相反

（如果我們約定

，其中

為同位旋分量，那麼一般取

的超荷為1/2，

的超荷為-1/2）。這是因為

一個自洽的量子場論必須消除掉所有的規範反常 (gauge anomaly)

，標準模型中的所有費米子原本是恰好滿足這一點的。如果只有一個Higgs二重態，它對應的higgsino是左手費米子且具有非零的超荷，所以會貢獻到

$SU(2)_{\rm L}^2 U(1)_{\rm Y}$

及

$U(1)_{\rm Y}^3$

的手徵反常中去，從而使得

$\sum_{i=\rm left} Y_i^3-\sum_{i=\rm right} Y_i^3$

和

$\sum_{i=\rm left} Y_i$

不再為零，這就會導致規範反常。而如果同時引入兩個超荷相反的Higgs二重態，則對應的兩個higgsinos也是超荷相反的左手費米子，

它們對手徵反常的貢獻正好相消

，從而所有的規範反常都能消除，完美！另一方面，在超對稱中，

#FormatImgID_150# 只能和上型夸克耦合， #FormatImgID_151# 只能和下型夸克及帶電輕子耦合

，這也是必須同時引入

和

的原因：實驗告訴我們無論是上型夸克，下型夸克還是帶電輕子，在自發對稱性破缺後都具有非零的質量。

MSSM中的所有基本粒子組成的手徵超多重態整理在下表中（取自hep-ph/9709356）

注意

超對稱中習慣將所有的手徵超多重態都寫成左手的

，所以表中用右手場的共軛來表示右手場（

右手場的共軛是左手的

）。另外，

超對稱中習慣處理二分量的Weyl旋量而不是四分量的Dirac旋量，在二分量旋量的世界中是沒有取bar操作的

（即先取dagger再右乘

$\gamma^0$

），表中的bar都只是記號而已。

如果你仔細觀察表格就會發現，中微子和

雖然處於不同的超多重態中，但它們的量子數碰巧完全一樣。這啟發我們，中微子和Higgs是否可能互為超對稱伴子，換句話說，Higgs是否就是sneutrino。如果真是這樣，就能減少超對稱中基本粒子的數目，是符合經濟性原則的。歷史上確實有人這麼嘗試過（

Phys。Lett。B

64 （1976） 159），最後發現這是做不到的。因為這會導致規範反常，輕子數破壞，中微子質量超過實驗上限等嚴重後果。所以，

所有原標準模型中的粒子不可能互為超對稱伴子，所有原標準模型中粒子的超對稱伴子都一定是實驗尚未發現的新粒子。

最後，

標準模型中的規範玻色子自旋都為1，只能處在規範超多重態中。它們對應的超對稱伴子是自旋1/2的費米子，稱為gaugino。

MSSM中所有基本粒子組成的規範超多重態總結在下表中（取自hep-ph/9709356）

上面已經說過，bino，中性的wino和兩個中性的higgsinos都是自旋1/2的不帶電的費米子，它們可以發生混合，得到的四個質量本徵態稱為neutralinos，其中最輕的那個（LSP）可以做暗物質。

在電弱規範對稱性破缺前，所有的gauginos和規範玻色子一樣，都是無質量的。在電弱規範對稱性自發破缺後，

和

透過線性組合得到質量本徵態

和光子

$\gamma$

，它倆對應的超對稱伴子分別被稱為zino （

$\tilde{Z}^0$

）和photino （

$\tilde{\gamma}$

）。如果超對稱沒有破缺，那麼zino與

玻色子的質量嚴格相等，而photino和gluino與光子和膠子一樣，仍然保持無質量。

綜上，上述兩個表格中的粒子就是MSSM中所有的基本粒子，可以看到它們只能組成手徵超多重態和規範超多重態。

4。超對稱的破缺

可以看到，即便在最簡單的超對稱模型MSSM中，基本粒子的數量相較於標準模型也翻了一倍。一個驚人的事實是，

在今天我們已經發現了標準模型中所有的基本粒子，卻仍然沒發現哪怕一個它們的超對稱伴子，

這意味著什麼？如果超對稱沒有破缺的話，所有超對稱伴子都和標準模型粒子具有嚴格相等的質量。例如電子質量為0。511MeV，它的超對稱伴子selectron在超對稱破缺前的質量一定也是0。511MeV，這不是一個很高的能標，所以這些超對稱伴子理應在很久以前就能在對撞機上被發現。所以我們不得不接受如下的事實：

在大自然所選擇的那個真空態下，超對稱一定是破缺的

。超對稱破缺後，超對稱伴子可以比標準模型粒子重得多，以至於逃脫對撞機的尋找。

如何理解超對稱伴子可以普遍比標準模型粒子重呢？

在標準模型中，所有有質量粒子都是透過和Higgs粒子的耦合來獲得質量的

，在電弱規範對稱性自發破缺後，它們的質量等於Higgs的真空期望值174GeV乘上對應的耦合係數，所以它們的質量都在電弱能標以下。但是

超對稱伴子的質量可以有完全不同的起源機制，它們可以在電弱規範對稱性破缺前就具有顯式的質量項。

首先，squarks，squarks和Higgs都是標量，可以直接在拉氏量里加入標量場的質量項

$m_\phi^2|\phi|^2$