*10。 常係數線性微分方程組解法舉例

10。1 簡單介紹

​ 前面我們研究的是由一個微分方程求解一個未知函式，但是在實際問題中，我們會遇到含幾個函式的微分方程，它們

具有同一個自變數

。將這些微分方程聯立起來，得到的方程組被稱為

\underline{微分方程組}

​ 若微分方程組中的每一個微分方程都是常係數線性微分方程，那麼這個微分方程組就叫做

\underline{常係數線性微分方程組}

​ 為了求解這個方程組中每一個未知函式，我們可以按照下面的步驟進行求解：

從方程組中消去一些未知函式及其各階導數，得到只含有一個未知函式的高階常係數線性微分方程。

解此高階微分方程，求出滿足此方程的未知函式。

將已求得的函式代入原方程組，一般來說，不必經過積分就可以求出其餘的未知函式。

​ ——-此部分出自《高等數學》同濟版

10。2 例題

此處僅給出課本上的例題1。

​ 解微分方程組

\begin{cases}\frac{dy}{dx}=3y-2z\ \ \ \ \ (1) \\ \frac{dz}{dx}=2y-z\ \ \ \ \ \ \ (2) \end{cases}

我們按照上面的步驟來進行求解：

​ 容易由式

(2)

得到

y=\frac{1}{2}(\frac{dz}{dx}+z)

，則求導得

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(\frac{d^2z}{dx^2}+\frac{dz}{dx})

代入這兩個式子到式

(1)

，化簡得到

\frac{d^2z}{dx^2}-2\frac{dz}{dx}+z=0

這是一個常係數線性微分方程，寫出它的特徵方程為

r^2-2r+1=0

容易求出

r_1=r_2=1

，則此方程的通解為

z=(C_1+C_2x)e^x

反代

y=\frac{1}{2}(\frac{dz}{dx}+z)

，可以求出

y=\frac{1}{2}(2C_1+C_2+2C_2x)e^x

將這兩個式子寫成這樣：

\begin{cases}y=\frac{1}{2}(2C_1+C_2+2C_2x)e^x \\z=(C_1+C_2x)e^x \end{cases}

就得到所給方程組的通解。

注：在討論常係數線性微分方程（或方程組）時，常採用記號

D

來表示對自變數

x

求導的運算

\frac{d}{dx}