相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？Will2020-01-31 14:14:07

誰和你說相對論是向量疊加的？你家的向量有上下標啊。同意另一個答主的意思，這種問題你還不如找本書去看。Misner和Thorne的那本就不錯

相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？知乎使用者2020-02-01 14:41:52

首先我們先看看，宏觀低速下是怎麼疊加速度的。

例如，運動員A在跑道上，以10km/h的速度向東跑，運動員B則是在跑道另一頭以同樣的速度向西跑。此時，我們計運動員A與運動員B的相對速度就是疊加速度20km/h。

在這個案例中，我們用的是經典物理的時空觀，在這個認知系統中，我們預設時間和空間單位是恆定不變的。

小學數學中學到的，速度*時間=路程。由此得算式：v=s/t。由於空間和時間一直是我們用於丈量世界的標尺，它們是最高基準，所以速度只能跟著空間和時間給出來的數值進行計算，呈現出“疊加”的現象。

事實上，這和是否為“向量”無關。每一個向量都可以拆分為複數個分向量，相反角度的分向量互相抵消，剩下的就是我們看到的合向量。最終計算這個向量的大小，用到的還是標量計算的方式。

接著，我們看微觀高速下世界。

這個觀測視角與我們經典物理完全不同。我們透過大量的實驗證明了光速在不同速度的參考系中始終恆定不變。由此，我們選擇把“速度”作為標尺。嚴格來說，我們是把“光速”作為標尺！光速實在太過穩定了，無論在任何時間或者是空間裡，它都不可能被改變。所以，原來經典物理的那個演算法要做一些調整，用來適應現在這個新的標尺。調整的方法是下面這樣的——

相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？

相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？

呃，看不懂？

這個科普影片可以讓你懂

這樣一調整，經典物理世界就和高速世界相吻合了。

這種調整方式就是常說的“洛倫茲變換”。它用數學的方式，確保了所有我們已知甚至未知的規律都不會因為標尺的修改而被改變，仍然是嚴格遵守最根本的那套邏輯。

不過呢，這個系統中，不僅速度單位恆定不變，甚至連速度的值都是恆定不變的。因為我們是把“光速”作為標尺！

把光速作為標尺是一項非常長足的進步。我們在經典物理中，空間單位不變，但是空間卻是無窮大的，也就是說，這裡就有了一個無法被限制的變數，讓我們根本無法在宇宙中找到自己的位置。而當我們以光速作為標尺，我們就可以一直把我們自己作為參考系的中心，時間和空間都依照原定的數學邏輯去表現。我們從這個“相對”的參照系系中，把許多未知變成了已知，這更有利於我們去探索廣袤無垠的宇宙，以及它的法則。

所以呢。在相對時空觀中，速度並不能疊加。因為光速是唯一的基準，或者說，所有參與討論的目標，它們都被賦予了光速。

但因為速度公式v=s/t仍然是正確的，所以在經典物理中的不同速度，切換到相對時空觀中，就改用不同的時間和空間來體現差異。也就是著名的“尺縮鐘慢”效應。

當你以光速運動時，你會覺得再怎麼遙遠的東西，都近在眼前，再如何漫長的時間，都是眨眼之間。

上學要遲到了。距離學校還有1km，需要5min。

當你用“高速”的方式去學校，那你會覺得學校離你很近，耗時也特別短。就好像你用速度，把整個時空都給壓縮了。

壓縮時空的感覺，其實就像是穿秋衣的袖子那樣，袖子本來有近一米長，你把袖子捲起來，手掌一穿就過去了。

而你的速度越慢，你對時空的感受就越接近於現在現實中的狀態。

相對時空觀中，光速是唯一的標尺，所以速度不是向量，也不可以疊加。

而在經典物理中，速度並沒有被賦予這樣高貴的定義，所以仍然是可以疊加的。按照速度公式，s越大，t越小，速度就越大。

相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？YorkYoung2020-02-06 13:12:13

在相對論中速度不是向量，4-速度才是!

在相對論中速度不是向量，4-速度才是!

在相對論中速度不是向量，4-速度才是!

所以我一直奉勸不懂閔可夫斯基幾何，不要學相對論，否則三天之內搞瘋你，腦漿都給你糊了。

什麼是向量，請翻開你的線性代數課本里面線性空間一章，裡面說得很清楚，在一個集合上定義兩種運算，一種叫加法，一種叫數乘，它們滿足8條運算規律，這個集合就叫線性空間，而線性空間中的元素就叫向量（向量）。

這才是向量最最最根本的定義，其他任何說法不是用特殊代替一般，就是胡說八道。

既然，相對論中的速度不滿足疊加性質，也就是說，沒法定義加法，它就不是個向量。

而4-速度是粒子在時空中的軌跡曲線上指向未來的單位切向量，這個定義就已經宣告了它是個向量，而4-速度和3-速度的關係是：

V=(\gamma,\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z)

你看這個結構，3-速度怎麼都不該是個向量對吧。

相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？知乎使用者2020-02-14 18:32:41

我們直接在廣義相對論框架下給出任意速度疊加的公式吧！以下我們採用幾何單位制，光速等於1，

c=1

，並採用愛因斯坦求和約定。

首先明確這個問題在任意Lorentz時空（也就是廣義相對論的研究物件）下如何描述。按照題目中所討論的，所謂的“速度疊加”公式，一般就是用於描述，物體的運動速度如何隨著參考系的變換而變換。我們最熟悉的速度疊加公式 是

v

，這個公式中

u

是運動參考系相對於靜止參考系的速度，

v

是物體相對於運動參考系的速度。然後所求的

v

就是物體相對於靜止參考系的速度。搞清楚了這一點，如何描述最一般的速度變換也就已經清楚了。即，任意給定兩個參考系

A

和

B

，已知某個物體相對於

B

的速度，以及

B

和

A

的關係，求物體在

A

中的速度。

為了進行明確地計算，我們還需要澄清幾點。首先，在廣義相對論，一個物理上的參考系都是局域的。也就是所物理觀測只能發生在“當時當地”。即，在

x

點的觀測者只能測量

x

點的物理量，不能測量

y

點的物理量。在每一個點的觀測者都可以在這個點建立4個座標軸，測量到的物理量可以以這4個座標軸為基分解成分量。4個座標軸必須是正交歸一的，有一個軸是類時的，也就是時間軸；另外3個軸是類空的，也就是空間軸。所以我們計算速度疊加的時候，也是固定一個時空點進行的。然後將這個過程對每一個點都進行一次。得到整個時空上的規律。設

A

參考系在時空點

x

的4個軸記為：

\epsilon_a(x)=(\epsilon_0(x),\epsilon_1(x),\epsilon_2(x),\epsilon_3(x))

，每一個

\epsilon_a(x)

都是一個正交歸一的向量，並且按照約定，

\epsilon_0(x)

是類時向量，這個向量就是這一點觀測者的世界線的切向量。

B

參考系的4個軸記為

e_a(x)=(e_0(x),e_1(x),e_2(x),e_3(x))

，同理

e_0(x)

就是B參考系對應的觀測者的世界線的切向量。兩個參考系之間的關係由變換

{\Lambda^a}_b

表示：

e_a(x)={\Lambda^e}_a(x)\epsilon_e(x)

由於

e_a(x)

和

\epsilon_b(x)

都是正交歸一的向量，所以

{\Lambda^a}_b

必須是洛倫茲變換（這來源於洛倫茲變換的嚴格定義）。為了方便，以下的公式都省略

x

。 然後，考慮

B

參考系有有一個運動的物體，這個物體的世界線經過

x

點，所以這個物體的世界線的切向量

\frac{d}{d\tau}

（不要問為什麼把切向量記為這種形式，就當成一個符號吧），這個切向量也就是4速度，將其在

x

點的4個座標軸下分解為：

\frac{d}{d\tau}=v^a e_a

那麼這個物體在B參考系的3速度定義是

\vec v=(v^1,v^2,v^3)/v^0

，3速度的大小是：

v=|\vec v|=\frac{\sqrt{(v^1)^2+(v^2)^2+(v^3)^2}}{v^0}

很明顯，這個物體的世界線的切向量也可以在

A

參考系下進行分解，

\frac{d}{d\tau}=v

由於

v

所以

v

從而根據基底

\epsilon_a

的線性獨立性，其係數是相等的。即：

v

這個就是4速度的參考系變換公式，也可以稱為4速度的疊加。參考系B在參考系A中的4速度其實就是

e^0

，所以

e^0

在A參考系三個空間軸上的分量除以時間軸上的分量，也就是

\vec u=(\Lambda^1_0,\Lambda^2_0,\Lambda^3_0)/\Lambda^0_0

而最終疊加出來的物體在

A

參考系中的3速度

\vec v

就是：

\vec v

因此3速度的疊加就包含在

v

之中，可以看出，一般性的速度的疊加不僅僅依賴於參考系的速度，還依賴於

{\Lambda^a}_b

的其他分量。

接下來，為了形象，我們舉幾個具體的例子，應用一般的速度疊加公式計算特殊情況下的速度疊加。比如第一種情況，參考系

B

和參考系

A

的x軸重合，即

e_1=\epsilon_1

，參考系

B

的3速度方向沿著參考系

A

的x軸，即

\epsilon_1

的方向。然後物體的3速度

\vec v

也沿著

\epsilon_1

的方向。此時

A

和

B

之間的洛倫茲變換就是x軸上的Boost變換，也就是大家最熟悉的洛倫茲變換的形式：

{\Lambda^a}_b=\left(\begin{matrix} \gamma_u&u\gamma_u&0&0\\ u\gamma_u&\gamma_u&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right)

其中

\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}

。 物體在參考系B中4速度是，

v^a=\left( \begin{matrix} \gamma_v\\ v\gamma_v\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)

其中

\gamma_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}

那麼合成的4速度就是

v

可以發現，疊加的3速度就是

v

，也就是我們熟知的速度疊加公式。

接下來我們考慮題主給出的，兩個速度垂直的情況，這種情況就對應於：參考系

B

和參考系

A

的x軸重合，即

e_1=\epsilon_1

，參考系

B

的3速度方向沿著參考系

A

的x軸，即

\epsilon_1

的方向。然後物體在

B

參考系中的3速度不再沿著x軸的方向，而是沿著z軸的方向，也就是

e_3

的方向。從而兩個速度方向垂直。所以速度疊加就變為了：

v

所以，疊加出來的3速度就是

\vec v

， 3速度的大小是

v

把光速

c

補充上，就是

v

可見

u,v

的地位完全對等，並且容易證明這個函式對二者在

[0,c]

的區間內都是單調遞增的，最大值在

u=v=c

處取得，從而最大速度

v

， 兩個速度的疊加同樣不能超越光速。

其他情況同樣可以透過上面的一般公式推匯出來，無論疊加的兩個速度是什麼樣的夾角，只需確定出變換矩陣

{\Lambda^a}_b

的具體形式即可。

相對論中兩個垂直的速度怎麼疊加？速度是向量，為何接近光速就不能向量疊加，向量疊加是不是要滿足一定條件？南中國海的一條魚2020-02-15 17:42:15

先上洛倫茲變換推導過程和相對速度公式推導過程：

我們應當如何正確地推導洛倫茲變換？如何應用洛倫茲變換推匯出“尺縮”效應和“鐘慢”效應？

這裡需要強調幾點：

在同一參考系內，速度該怎麼向量疊加還怎麼向量疊加，不然我們就沒法透過正交分解找出速度的大小和方向了。

就是在經典力學中，速度的疊加除用於藉助正交分解量度速度的大小和方向外，幾乎都是用於參考系的變換的。經典力學的參考系變換公式是

\vec{r}_{P|S}=\vec{r}_{P|O}-\vec{r}_{S|O}

，等式兩邊對

t

求導即得到速度公式。

在相對論力學中，因參考系變換而需要進行的速度變換，的確不能直接用向量疊加的法則，必須先進行洛倫茲變換，或套用本回答開始給出的連結裡面推匯出來的速度變換公式。