第十三天（20,11,20）：分部積分法（下）

昨天我們講了一下基本的分部積分法的推廣：

今天我們細化到例項上：

1。從昨天的例子我們可以看到，重複應用分部積分法，可以計算下列形式的積分：

$\int P ( x ) e ^ { a x } d x , \int P ( x ) \operatorname { sin } b x d x,\int P ( x ) \operatorname { cos } b x d x$

其中

是

的多項式。使用

分部積分法的推廣公式

可以得到以下幾種形式的積分普遍表示式。

積分

$\color{green}{\int P ( x ) e ^ { a x } d x}$

。

若令：

$v ^ { ( n + 1 ) } = e ^ { a x }$

，則：

$v ^ { (n) } = \frac { e ^ { a x } } { a } , v ^ { ( n - 1 ) } = \frac { e ^ { a x } } { a ^ { 2 } } , v ^ { ( n - 2 ) } = \frac { e ^ { a x } } { a ^ { 3 } },\cdots$

並假設

是

的

次多項式，那麼積分為：

${ \int P ( x ) e ^ { a x } d x = e ^ { a x } ( P\cdot \frac { 1 } { a } - P ^ { \prime } \cdot \frac { 1 } { a ^ { 2 } } }{ + P ^ { \prime \prime } \cdot \frac { 1 } { a ^ { 3 } } - P ^ { \prime \prime \prime } \cdot \frac { 1 } { a ^ { 4 } }+\cdots ) }+C$

。

積分

$\color{blue}{\int P ( x ) \sin bx d x}$

。

同前法，令

$v ^ { ( n+ 1 ) } = \operatorname { sin } b x$

，

則：

$v ^ { ( n ) } = - \frac { \operatorname { cos } b x } { b } \cdot v ^ { ( n - 1 ) } = - \frac { \operatorname { sin } b x } { b ^ { 2 } } , v ^ { ( n - 2 ) } = \frac { \operatorname { cos } b x } { b ^ { 3 } }$

。

仍假設

是

的

次多項式，因此有：

${\int P(x) \sin bxdx = \operatorname { sin } b x ( P^\prime \cdot \frac { 1 } { b^2 } - P ^ { \prime \prime \prime} \cdot \frac { 1 } { b ^ { 4 } } + \cdots) } -\cos bx{ ( P ^ { } \cdot \frac { 1 } { b ^ { } } -P ^ { \prime\prime } \cdot \frac { 1 } { b ^ { 3 } } + \cdots) } +C$

積分

$\color{purple}{\int P ( x ) \cos bx d x}$

。

同前法，令

$v ^ { ( n+ 1 ) } = \operatorname {cos } b x$

，

則：

$v ^ { ( n ) } = \frac { \operatorname { sin } b x } { b } \cdot v ^ { ( n - 1 ) } = - \frac { \operatorname { cos } b x } { b ^ { 2 } } , v ^ { ( n - 2 ) } = \frac { \operatorname { sin } b x } { b ^ { 3 } }$

。

仍假設

是

的

次多項式，因此有：

${\int P(x)\cos bxdx = \operatorname { sin } b x ( P \cdot \frac { 1 } { b } - P ^ { \prime \prime } \cdot \frac { 1 } { b ^ { 3 } } + \cdots) } +\cos bx{ ( P ^ { \prime } \cdot \frac { 1 } { b ^ { 2 } } -P ^ { \prime\prime \prime } \cdot \frac { 1 } { b ^ { 4 } } + \cdots) } +C$

2．在求積分

$\color{orange}{\int \operatorname { ln } xdx , \quad \int \operatorname { arctan } x d x , \quad\int \operatorname { arsinh } x d x}$

中應用分部積分法時，可把

作為被積函式的因式之一來幫助積分。

這裡就不展開了，大家自行嘗試。

$\int \operatorname { ln } x d x = x \operatorname { ln } \frac { x } { e } + c$

。

$\int \operatorname { arctan } x d x = x \operatorname { arctan } x - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { ln } ( x ^ { 2 } + 1 ) + C$

。

$\int \operatorname { arsinh }d x = x \operatorname { arsinh } x - \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } +C$

。

3。求積分

$\color{red}{\int x ^ { k } ( \operatorname { ln } x ) ^ { n } d x}$

的遞推公式。

我們先從一道例題開始：

從式

可看出，應用一次分部積分法，就可使

$\ln x$

的冪次降

。由此推斷：對於被積函式為

$x ^ { k } ( \operatorname { ln } x ) ^ { n }$

的積分，只要使用

次分部積分法，就可使

$\ln x$

的冪次降到零。我們可據此推演出積分

$\int x ^ { k } ( \operatorname { ln } x ) ^ { n } d x$

的遞推公式，其中

為任意實數，n是正整數。

我們設：

$u = ( \operatorname { ln } x ) ^ { n } , d v = x ^ { k } d x , d u = n (\ln x )^{n-1} \frac { dx } { x },v = \frac { 1 } { k + 1 } x ^ { k + 1 }$

。

那麼：

$\int x ^ { k } ( \operatorname { ln } x ) ^ { n } d x = \frac { 1 } { k + 1 } x ^ { k + 1 }(\ln x)^n - \frac { n } { k + 1 } \int x ^ { k } ( \operatorname { ln } x ) ^ { n - 1 } d x$

。

從上面的公式可知，每運用一次分部積分，可使

$\ln x$

的冪次降

，多次連續地運用分部積分法，就可得到最後的積分結果。

4。求積分

$\color{brown}{ \int e ^ { a x } \operatorname { sin } b x d x，\int e ^ { a x } \operatorname { cos } b x d x}$

。

設：

$u = \operatorname { sin } b x(or\quad cosbx) ，d v = e ^ { ax }dx， d u = b \operatorname { cos } b x d x (or\quad -b\sin bxdx) ，v = \frac { 1 } { a } e ^ { a x }$

那麼：

$\int e ^ { a x } \operatorname { cos } b x d x = \frac { 1 } { a } e ^ { a x } \operatorname { cos } b x - \int \frac { 1 } { a } e ^ { a x }(b\sin bxdx)=\frac { 1 } { a } e ^ { a x } \operatorname { cos } b x + \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \operatorname { sin } b x d x$

$\int e ^ { a x } \operatorname { sin } b x d x = \frac { 1 } { a } e ^ { a x } \operatorname { sin } b x - \frac { b } { a } \int e ^ { a x } \operatorname { cos } b xdx$

。

由上面兩式可得：

$\int e ^ { a x } \operatorname { cos } b x d x = e ^ { a x } \frac { \cos b x + b \operatorname { sin } bx } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }+C$

$\int e ^ { a x } \operatorname {sin } b x d x = e ^ { a x } \frac { \sin b x - b \operatorname { cos } bx } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }+C$

。

5。嘗試求積分

$\color{gray}{\int x ^ { n } e ^ { a x } \operatorname { cos } b x d x , \int x ^ { n } e ^ { a x } \operatorname { sin } b x d x}$

。

由於二者形式十分相似，我們再次求其中一個（

就決定是你了！出來吧！野生的正弦函式！

）

令：

${ u = x ^ { n } ， d v = e ^ { a x } \operatorname { sin } b x d x } ， { d u = n x ^ { n - 1 } d x ， v = e ^ { a x } \frac { a \operatorname { sin } b x - b \operatorname { cos } b x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }$

。

則：

$\int x ^ { n } e ^ { a x } \operatorname { sin } b x d x = x ^ { n } e ^ { a x } \frac { a \operatorname { sin } b x - b \operatorname { cos } b x } { a ^ { 2 } + b }- \int e ^ { a x } \frac { a \operatorname { sin } b x - b \operatorname { cos } b x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \cdot n x ^ { n - 1 } d x\\=x ^ { n } e ^ { a x } \frac { a \operatorname { sin } b x - b \operatorname { cos } b x } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - \frac { n a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \int x ^ { n - 1 } e ^ { a x } \operatorname { sin } b xdx+\frac { n b} { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \int x ^ { n - 1 } e ^ { a x } \operatorname { cos } b xdx$

該結果表明：每做一次分部積分，

的冪次就降

，當運用

次分部積分時，

的冪次降到零，此時就可應用上面的公式，把最後的積分求出來。

6。來填坑——求積分

$\color{gold}{\int \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) ^ { n } }}$

的遞推式。

令：

${ u= \frac { 1 } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } }， d v = d x }， { d u = - 2 n x ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - ( n + 1 ) } d x ，v = x }$

。

則：

$\int \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } } = \frac { x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } } - \int x [ - 2 n x ( x ^ { 2 } + a ^ { - 2 } ) ] d x \\=\frac { x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } } + 2 n \int \frac { x ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } d x$

其中第二項積分可以表示為：

$\int \frac { x ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } d x = \int \frac { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) - a ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } d x=\int \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } } - a ^ { 2 } \int \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } }$

所以：

$\int \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } = \frac { 1 } { 2 n a ^ { 2 } } \frac { x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } } +\frac { 2 n - 1 } { 2 n a ^ { 2 } } \int \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { n } }$