本文幾乎完全摘抄於Arnold的《經典力學的數學方法》。與其看我的這篇文章，不如直接去看原著。

1。1 經典力學的基本公設

1.1.1空間和時間

我們所在的空間是三維歐氏空間，時間則是一維的。

1.1.2伽利略相對性原理

存在一些參考系（座標系）稱為慣性系，他們有以下兩個性質：

一切自然規律在任何時刻，在所有慣性系中都相同。

相對於一個慣性系作勻速直線運動的一切參考系也都是慣性系。

1.1.3牛頓的決定性原理

一個力學系統的初始狀態，即其中各點在某一時刻的位置與速度的總體，唯一地決定其運動。

1.2基本公設的數學表述

1.2.1伽利略時空構造

［1］

伽利略時空構造包含以下三要素

宇宙

——這是一個四維仿射空間

A^4

。

A^4

中的點稱為

世界點

或

事件

。宇宙

A^4

中的平移構成一個向量空間

\mathbb{R}^4

。

時間

——這是一個線性對映

t:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}

，由宇宙的平移向量空間映到實的“時間軸”，由事件

a\in A^4

到事件

b\in A^4

的

時間間隔

即數

t(b-a)

。若

t(b-a)=0

，就說事件

a

和

b

是

同時的

。

與一個固定事件同時的事件之集合是

A^4

的一個三維仿射子空間，它叫做

同時事件空間

A^3

。

同時事件的距離

\\\rho(a.b)=||a-b||=\sqrt{(a-b,a-b)},\quad a,b\in A^3

由

\mathbb{R}^3

上的數量積給出。 這個距離使每個同時事件空間都成為三維歐氏空間

E^3

。

具有伽利略時空構造的空間

A^4

稱為伽利略空間。

1.2.2伽利略變換

伽利略群就是伽利略空間中保持伽利略時空構造的一切變換所成的群。這個群的元素稱為

伽利略變換

，伽利略變換就是

A^4

中保持時間間隔和同時事件的距離不變的仿射變換，也就是標架的變換。

考慮時間軸

t

和一個三維向量空間

\mathbb{R}^3

的直積

\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3

，這裡設

\mathbb{R}^3

有一個固定的歐式構造。這樣的空間有自然的伽利略構造。 我們稱之為

伽利略座標空間

。

我們要舉出這空間中伽利略變換的三個例子：

速度為

v

的勻速運動

\\g_1(t,\boldsymbol x)=(t,\boldsymbol x+\boldsymbol vt),\quad\forall t\in\mathbb{R},\boldsymbol x\in\mathbb{R}^3.

原點的平移

\\g_2(t,\boldsymbol x)=(t+s_t,\boldsymbol x+\boldsymbol s_x),\quad\forall t\in\mathbb{R},\boldsymbol x\in\mathbb{R}^3.

座標軸的旋轉

\\g_3(t,\boldsymbol x)=(t,G\boldsymbol x),\quad t\in\mathbb{R},\boldsymbol x\in\mathbb{R}^3.

G:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3

是一個正交變換。

還有兩個重要結論：

任意一個伽利略變化都可以唯一地表為一個旋轉、一個平移、一個勻速運動的組合

(g=g_1\circ g_2\circ g_3)

慣性參考系之間的變換是伽利略變換

［2］

，因此所有的慣性參考系的伽利略時空構造都相同。

一切伽利略空間均互相同構，特別是同構於座標空間

\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3

。

1.2.3運動，速度，加速度

運動：

\mathbb{R}^N

中的運動就是一個可微對映

\boldsymbol x:I\rightarrow\mathbb{R}^N

，

I

是實軸上的一個區間。運動也可稱為世界線。

速度：

\boldsymbol v(t)=\dot {\boldsymbol x}(t)

加速度：

\boldsymbol a(t)=\ddot{\boldsymbol x}(t)

1.2.4牛頓方程

根據1。1。3牛頓的決定性原理，一個系統的一切運動都由其初始位置和初速度唯一的決定。

［3］

特別是，初始位置和初速度決定了加速度。換言之，存在一個函式

\boldsymbol F:\mathbb R^N\times \mathbb R^N\times\mathbb R\rightarrow\mathbb R^N

使得

\\\ddot{\boldsymbol x}=\boldsymbol F(\boldsymbol x,\dot{\boldsymbol x},t)

牛頓以上述方程作為力學的基礎，它稱為牛頓方程。

由於常微分方程解的存在與唯一性定理，函式

\boldsymbol F

與初始條件

\boldsymbol x(t_0)

和

\dot{\boldsymbol x}(t_0)

唯一決定一個運動。

對每個特定的力學系，函式

\boldsymbol F

的形狀是由實驗決定的。從數學的觀點來看，

\boldsymbol F

的形狀構成該力學系的定義。

1.2.5由相對性原理所加的限制

［4］

根據伽利略相對性原理：在物理時空中有一個特定的伽利略構造（

“慣性參考系類”

），慣性參考系的變換就是在這個特定的伽利略構造中的伽利略變換。

而相對性原理要求一切自然規律在任何時刻，在所有慣性系中都相同。即一個慣性系中的自然規律在其他慣性系中都相同。即自然規律在伽利略變換下協變。

下面，給出幾個重要的伽利略變換下協變的例子。

時間平移是伽利略變換，牛頓方程具有時間平移不變性，意味著自然法則是恆定的

空間平移是伽利略變換，牛頓方程具有空間平移不變性，意味著空間是均勻的

空間旋轉是伽利略變換，牛頓方程具有空間旋轉不變性，意味著空間是各向同性的

由上述三個對稱性，還可以推出牛頓第一定律。

參考

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1。1。1我們所處的空間是三維歐氏空間，時間是一維的

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1。1。2伽利略相對性原理

^

1。1。3牛頓決定性原理

^

1。1。2伽利略相對性原理