一、引入：

開門見山，矩陣的物理意義有兩個，其一是座標系，其二是運動。

那兩者之間有什麼關係嗎？有的。一個點的運動，等價於改變了這個點的座標系。

在詳細介紹這個概念之前。我們先明確一個概念，

那就是任何向量都需要一個座標系

。就好比如果我們觀察一個物體是否運動，就必須選擇好一個參考物，選擇不同的參考物，你會得出不同的結論。比如觀察汽車是否運動，那就要看，你是在哪兒看的，如果你在陸地上看，那麼汽車的確在運動，但是如果你在汽車上的話，你會認為汽車沒有動。這就是不同的參考物對觀察結果的影響。這就是運動的相對性。

同樣的任何向量都需要一個座標系，該座標系就等價於例子中的參考物，座標系不同，你得出的向量不同

。

回到剛才的例子，有了參考物，有了觀察目標，以後簡稱目標物。我們如何描述兩者遠離的運動呢？方法1是認為參考物不動，目標物動，一個是認為目標物不動，參考物動。比如以老師為參考物，車裡的學生為目標物。我們可以認為老師不動，學生在隨車向左走，同樣的我們可以認為學生沒有動，但是老師是向右走。第一種描述的是目標點的運動，第二個描述的是座標系的運動，也可以理解為改變了座標系。

圖1 例子

更具體的，假設在一個數軸上的兩個點，如圖中的紅點a和綠點b。我們如果求a與b的距離。a為原點b為目標點，其中b點的座標為相對於a的位置。如下圖可見假設圖1-1中a，b距離為4。則b相對於原點a的座標為4。現在像將b相對於a的座標改為3。方法有下面兩個：

方法一：b向左移動1。如圖1-2中，b向左移動了1，則b的座標為3。

方法二：a向右移動1。故b相對於a的座標為3。如圖1-3中a向右移動了1，則b與a的距離變成了3，故b的座標變成了3。

所以可以發現以下兩個問題

1。所謂b的座標其實是描述，a，b兩點的相對關係。因為座標的實質是距離，而距離至少需要兩個點（這句只是自己別忘，不用理解）。

2。如果改變b相對於a的座標，可以改變b的位置，也可以改變原點a的位置。

圖2 引入

二、向量與座標系

正常的為了表示一個向量，我們需要一個座標系，就像引入中講的，點的座標不可能脫離參考點存在，向量也不可能脫離座標系存在，向量描述的是有向線段與座標系的相對關係。同樣一個向量，他在不同的座標系中，他的座標是不同的。

如下圖所示，其中有黑色與灰色兩種座標系，為了下面介紹方便，以後便分別稱他們為黑座標系與灰座標系。假設灰座標系是由黑座標系沿逆時針旋轉得到的，其中旋轉矩陣為

。假設表示黑座標系的矩陣為單位矩陣E，則表示灰色座標系的矩陣用

表示。

假設有向線段a在黑座標系中，表示為向量

，則在灰座標系中則需要用

表示。具體計算方法為：

。

還有一個有向線段b是由a沿順時針方向旋轉得到的，旋轉矩陣為H。且在黑色座標系中表示為向量

，則

。即向量

可用

。這不就是向量

在座標系

中的向量嗎？是的。

那為什麼會由相同的結果呢，這個就回到之前引入的問題了。因為所謂向量描述的是有向線段與座標系之間的相對關係，不可以脫離座標系存在。改變有向線段a與黑座標系之間的關係，可以透過移動向量a來完成，也可以透過移動黑座標系來完成，其原理與引入中的例子是一樣的。都在描述運動，之所以有兩種理解方式是因為運動存在相對性。

說明以下，有向線段即是向量，這裡用有向線段這種說法是為了敘述簡單。