\triangle ABC

中，

a=2，A=\frac{\pi}{3}

（1）求

\triangle ABC

面積的取值範圍

（2）求

\triangle ABC

周長的取值範圍

（3）求

2b+3c

的最大值

（1）求面積的最值

法一：（餘弦定理+基本不等式）

cosA=\frac{1}{2}=\frac{b^2+c^2-4}{2bc}

，整理得：

b^2+c^2-4=bc

（注意到我們的目標是面積

S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}bc

，需要的是

bc

）

利用均值不等式

b^2+c^2-4=bc\geq2bc-4

，

即

bc\leq4

，

S\leq\sqrt{3}

（當且僅當

b=c

時取等號）

法二：（正弦定理+誘導公式+降冪公式+輔助角公式+ #FormatImgID_14# 的值域問題）

根據正弦定理有：

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

，

即

b=\frac{4}{\sqrt{3}}sinB；c=\frac{4}{\sqrt{3}}sinC

S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}sinB\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}sinC=\frac{4}{\sqrt{3}}sinBsinC

因為

sinB=sin(A+C)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC

sinBsinC=\frac{\sqrt{3}}{2}sinCcosC+\frac{1}{2}sin^2C=\frac{\sqrt{3}}{4}sin 2C-\frac{1}{4}cos2C+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}sin(2C-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{4}

當

2C-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}

，即

C=\frac{\pi}{3}

時取得最大值

\frac{3}{4}

所以面積

S=\frac{4}{\sqrt{3}}sinBsinC\leq\sqrt{3}

總結：

可以明顯的看出，方法一要比方法二簡單很多。

求面積的最值用餘弦定理

（2）求周長的最值

法一：（餘弦定理+基本不等式的變式）

cosA=\frac{1}{2}=\frac{b^2+c^2-4}{2bc}

，整理得：

b^2+c^2-4=bc

（注意到我們的目標是面積

C=a+b+c=2+b+c

，需要的是

b+c

）

配方得到

(b+c)^2-4=3bc

根據基本不等式的變形

bc\leq(\frac{b+c}{2})^2

代入化簡

得到

b+c\leq4

，周長

C\leq6

（當且僅當

b=c

時取等號）

注意到隱含條件

b+c>a=2

，所以最終答案為

4<C\leq6

法二：（正弦定理+誘導公式+輔助角公式+

Asin(\omega x+\varphi)

的值域問題）

根據正弦定理有：

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

，

即

b=\frac{4}{\sqrt{3}}sinB；c=\frac{4}{\sqrt{3}}sinC

C=a+b+c=2+\frac{4}{\sqrt{3}}(sinB+sinC)

因為

sinB=sin(A+C)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC

所以

sinB+sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\sqrt{3}sin(C+\frac{\pi}{6})

又因為

C\subset(0,\pi)

，

C+\frac{\pi}{6}\subset(\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6})

所以

\sqrt{3}sin(C+\frac{\pi}{6})\subset(\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}]

，當

C=\frac{\pi}{3}

時取最大值

代入周長

C=2+\frac{4}{\sqrt{3}}(sinB+sinC)\subset(4,6]

總結：

對比之下，法一還是較簡單于法二，

但是如果再多一些限制，法一就不能用了

比如：銳角

\triangle ABC

中，

a=2，A=\frac{\pi}{3}

（多了個銳角三角形的限制）

法一：沒法求最小值

法二：

根據正弦定理有：

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

，

即

b=\frac{4}{\sqrt{3}}sinB；c=\frac{4}{\sqrt{3}}sinC

C=a+b+c=2+\frac{4}{\sqrt{3}}(sinB+sinC)

因為

sinB=sin(A+C)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC

所以

sinB+sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\sqrt{3}sin(C+\frac{\pi}{6})

又因為 #FormatImgID_53#

，

C+\frac{\pi}{6}\subset(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})

所以

\sqrt{3}sin(C+\frac{\pi}{6})\subset(\frac{{3}}{2},\sqrt{3}]

，當

C=\frac{\pi}{3}

時取最大值

代入周長

C=2+\frac{4}{\sqrt{3}}(sinB+sinC)\subset(2+2\sqrt{3},6]

因此我建議，求周長的最值用正弦定理

（3）求

2b+3c

的最大值

只能用法二

（正弦定理+誘導公式+輔助角公式+

Asin(\omega x+\varphi)

的值域問題）

根據正弦定理有：

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

，

即

b=\frac{4}{\sqrt{3}}sinB；c=\frac{4}{\sqrt{3}}sinC

C=a+b+c=2+\frac{4}{\sqrt{3}}(sinB+sinC)

因為

sinB=sin(A+C)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC

2b+3c=\frac{4}{\sqrt{3}}(2sinB+3sinC)=\frac{4}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}cosC+4sinC)=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{19}sin(C+\varphi)

其中

tan\varphi=\frac{\sqrt{3}}{4}

當

C+\varphi=\frac{\pi}{2}

時，取得最大值

\frac{4\sqrt{57}}{3}

以上