[email protected] 2017-07-13

區域性收斂性有如下定理

設已知 f（x） = 0 有根 a， f（x） 充分光滑（各階導數存在且連續）。

若 f‘（a） ！= 0（單重零點）， 則初值取在 a 的某個鄰域內時， 迭代法 x［n+1］ = x［n］ - f（x［n］）/f’（x［n］） 得到的序列 x［n］ 總收斂到 a， 且收斂速度至少是二階的。

若 f‘（a） == 0（多重零點）， 則初值取在 a 的某個鄰域內時， 收斂速度是一階的。

記 g（x）=x-f（x）/f’（x）， 其中“某個鄰域”可由 |g‘（x）|<1 的區間確定， 但是 g’（a）==0， 所以這樣的鄰域總是能取到的。

說收斂速度是 r 階指的是： 存在 r 及常數 c 使 lim_{n->\inf} |x［n+1］-a|/|x［n］-a|^r = c

至於牛頓迭代法的全域性收斂性， 一般的數值分析書都沒有詳細敘述， 而只是舉一些例子。

因為牛迭是否收斂依賴於函式是否“單調”， 一些“曲折”大的函式就可能使迭代法不收斂了。

經常舉的例子是三次函式， 比如 x^3 - x == 0。 有 -1，0，1 三個根。

迭代的時候如果取初值 x［1］ = sqrt（0。2） = 0。4472。。， 則得到 x［2］ = sqrt（0。2）， x［3］ = sqrt（0。2） 收斂到 sqrt（0。2）， 而這不是原方程根。

另外也可能不收斂， 或者不是收斂到離初值最近的根。 當然， 對於三次函式， 除了個別點， 牛迭總是收斂到某個根的， 因為初值遠離原點時由於函式的單調性， 總會被拉回“區域性”。

事實上在複平面上三次函式的根的牛迭收斂行為是個著名的分形足見全域性收斂性的複雜。